Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 506045

Сечение SAB, проходящее через вершину S прямого кругового конуса, имеет площадь 60. Точки A и B, лежащие на окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен \arccos дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 29 }.

Решение.

Очевидно, точки A и B стягивают дугу 60°, поэтому отрезок AB равен радиусу основания конуса. Обозначим радиус за r, а длину образующей за l. Тогда SA=SB=l. Проведем высоту SC треугольника SAB. Тогда AC= дробь, числитель — r, знаменатель — 2 и AC= косинус \angle SAB умножить на AS= дробь, числитель — 2l, знаменатель — корень из { 29 }, поэтому l= дробь, числитель — r корень из { 29}, знаменатель — 4 и SC= корень из { l в степени 2 минус дробь, числитель — r в степени 2 , знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 r.

Из условия на площадь имеем 60=S_{SAB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на r умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 r, откуда r= корень из { 96}=4 корень из { 6}.

Тогда высота конуса равна  корень из { l в степени 2 минус r в степени 2 }= дробь, числитель — r корень из { 13}, знаменатель — 4 , и объем конуса равен  дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи r в степени 2 h= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи умножить на 96 умножить на корень из { 78}=32 корень из { 78} Пи .

 

Ответ: 32 корень из { 78} Пи .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 34.
Классификатор стереометрии: Конус, Объем тела