ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 505815 Добавить в вариант

Сторона DC прямоугольника ABCD служит высотой конуса с вершиной D, DC  =  2. Радиус основания этого конуса в два раза длиннее отрезка BC. Шар касается плоскости прямоугольника ABCD в точке A и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара.

Спрятать решение

Решение.

Введем координаты так, чтобы начало координат оказалось в центре основания конуса, а оси x и z были направлены по сторонам CB и CD соответственно. Пусть радиус основания конуса равен r, а радиус шара R, причем его центр O лежит в области, где $y больше 0.$ Тогда точки имеют следующие координаты

$C левая круглая скобка 0,0,0 правая круглая скобка ,D левая круглая скобка 0,0,2 правая круглая скобка ,B левая круглая скобка r/2,0,0 правая круглая скобка ,A левая круглая скобка r/2,0,2 правая круглая скобка ,O левая круглая скобка r/2,R,2 правая круглая скобка .$

Проекция точки O на плоскость основания имеет координаты $левая круглая скобка r/2,R,0 правая круглая скобка .$ Луч, проведенный из центра в эту точку, пересекает окружность $x в квадрате плюс y в квадрате =r в квадрате$ в точке $левая круглая скобка дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби , дробь: числитель: 2Rr, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби ,0 правая круглая скобка .$ Уравнение образующей, содержащей эту точку (в параметрической форме)  — $левая круглая скобка дробь: числитель: tr в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби , дробь: числитель: 2tRr, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби ,2 минус 2t правая круглая скобка .$ Очевидно, шар должен касаться этой образующей конуса. Значит, уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: tr в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 2tRr, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента конец дроби минус R правая круглая скобка в квадрате плюс 4t в квадрате =R в квадрате$

должно иметь единственный корень. После упрощений уравнение сводится к виду $t в квадрате левая круглая скобка r в квадрате плюс 4 правая круглая скобка минус tr корень из: начало аргумента: 4R в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента плюс дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =0,$ а его дискриминант равен $r в квадрате левая круглая скобка 4R в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0,$ откуда $R=1.$

Ответ: 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 77

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Конус, Шар

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь