Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521132

В правильной треугольной пирамиде РABC (Р — вершина) точка М лежит на ребре РС так, что PM:CM=1:2. Точка K лежит на прямой АВ так, что AK:AB=4:3. Точка В находится между точками A и K.

а) Докажите, что прямые АM и СK перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды АМСК, если известно, что АВ = 2, АР = 3.

Решение.

а) Заметим что проекция AM на плоскость основания — прямая AM_1, где M_1 — точка, делящая отрезок от вершины C до точки пересечения медиан в отношении 2:1. Значит, она делит медиану в отношении 4:5. Достаточно доказать, что прямая CK перпендикулярна AM_1 и воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах:

\overline{CK} умножить на \overline{AM_1}= левая круглая скобка \overline{CB} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 \overline{AB} правая круглая скобка левая круглая скобка \overline{AC} плюс дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 \overline{CT} правая круглая скобка =

 

= левая круглая скобка \overline{CB} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 \overline{AB} правая круглая скобка левая круглая скобка \overline{AC} плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 \overline{CA} плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 \overline{CB} правая круглая скобка = дробь, числитель — 1, знаменатель — 27 (3\overline{CB} плюс \overline{AB})(7\overline{AC} плюс 2\overline{CB})=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 27 ( 21\overline{CB} умножить на \overline{AC} плюс 7\overline{AB} умножить на \overline{AC} плюс 6\abs{CB} в степени 2 плюс 2\overline{CB} умножить на \overline{AB})=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 27 ( минус 21\overline{CB} умножить на \overline{CA} плюс 7\overline{AB} умножить на \overline{AC} плюс 6\abs{CB} в степени 2 плюс 2\overline{BC} умножить на \overline{BA})=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 27 ( минус 12\overline{CB} умножить на \overline{CA} плюс 6\abs{CB} в степени 2 )= дробь, числитель — 6, знаменатель — 27 ( минус 2 \abs{CB} \abs{CA} косинус 60 в степени \circ плюс 6\abs{CB} в степени 2 )=0.

б) Имеем:

V_{AMCK}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(M,ACK) S_{ACK}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 d(P,ABC) умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 S_{ABC}= дробь, числитель — 8, знаменатель — 9 V_{ABCP}.

Высота пирамиды будет равна:

 корень из { AP в степени 2 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 AC правая круглая скобка в степени 2 }= корень из { 9 минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 }= дробь, числитель — корень из { 23}, знаменатель — 3 .

Объём тела ABCD равен:

 V_{ABCD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 дробь, числитель — корень из { 23}, знаменатель — 3 S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 дробь, числитель — корень из { 23}, знаменатель — 3 корень из { 3}= дробь, числитель — корень из { 23}, знаменатель — 3 .

Таким образом, V_{AMCK}= дробь, числитель — 8 корень из { 23}, знаменатель — 27 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 8 корень из { 23}, знаменатель — 27 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 179.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная пирамида