Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521132
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де РABC (Р  — вер­ши­на) точка М лежит на ребре РС так, что PM:CM=1:2. Точка K лежит на пря­мой АВ так, что AK:AB=4:3. Точка В на­хо­дит­ся между точ­ка­ми A и K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АM и СK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды АМСК, если из­вест­но, что АВ  =  2, АР  =  3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим что про­ек­ция AM на плос­кость ос­но­ва­ния  — пря­мая AM_1, где M_1  — точка, де­ля­щая от­ре­зок от вер­ши­ны C до точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан в от­но­ше­нии 2:1. Зна­чит, она делит ме­ди­а­ну в от­но­ше­нии 4:5. До­ста­точ­но до­ка­зать, что пря­мая CK пер­пен­ди­ку­ляр­на AM_1 и вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах:

\overlineCK умно­жить на \overlineAM_1= левая круг­лая скоб­ка \overlineCB плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \overlineAB пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \overlineAC плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби \overlineCT пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= левая круг­лая скоб­ка \overlineCB плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \overlineAB пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \overlineAC плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби \overlineCA плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби \overlineCB пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3\overlineCB плюс \overlineAB пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7\overlineAC плюс 2\overlineCB пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 21\overlineCB умно­жить на \overlineAC плюс 7\overlineAB умно­жить на \overlineAC плюс 6\absCB в квад­ра­те плюс 2\overlineCB умно­жить на \overlineAB пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 21\overlineCB умно­жить на \overlineCA плюс 7\overlineAB умно­жить на \overlineAC плюс 6\absCB в квад­ра­те плюс 2\overlineBC умно­жить на \overlineBA пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 12\overlineCB умно­жить на \overlineCA плюс 6\absCB в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 2 \absCB \absCA ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6\absCB в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Имеем:

V_AMCK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка M,ACK пра­вая круг­лая скоб­ка S_ACK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка P,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби V_ABCP.

Вы­со­та пи­ра­ми­ды будет равна:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AP в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Объём тела ABCD равен:

V_ABCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Таким об­ра­зом, V_AMCK= дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 179
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Объем тела, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025