Слу­чай 1. Пи­ра­ми­да пра­виль­ная. Пусть PL  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды, PH  — ее вы­со­та. Тогда:

Слу­чай 2. Пи­ра­ми­да не­пра­виль­ная, ее вер­ши­на про­ек­ти­ру­ет­ся в центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем ра­ди­ус внев­пи­сан­ной окруж­но­сти:

Для вы­чис­ле­ния вы­со­ты пи­ра­ми­ды най­дем тан­генс угла α:

Тогда

Най­дем апо­фе­му пи­ра­ми­ды PH  — вы­со­ту Δ BPC:

До­ка­жем, что вы­со­ты тре­уголь­ни­ков APB и APC, про­ве­ден­ные к AB и АС со­от­вет­ствен­но, равны PH. Пусть точки D и E  — точки ка­са­ния про­дол­же­ний сто­рон АС, AB тре­уголь­ни­ка ABC и внев­пи­сан­ной окруж­но­сти со­от­вет­ствен­но. Тогда PE, PD, PH, яв­ля­ю­щи­е­ся вы­со­та­ми тре­уголь­ни­ков APB, APC, BPC, равны как на­клон­ные, име­ю­щие рав­ные про­ек­ции,  — ра­ди­у­сы одной и той же внев­пи­сан­ной окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки APB, APC, BPC  — рав­но­ве­ли­ки. Итак,

Те­перь най­дем ис­ко­мый ра­ди­ус впи­сан­ной сферы:

Ответ: