СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 515135

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая B1C1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей ABC1 и АСВ1

Б) Найдите угол между плоскостями ABC1 и ACB1, если известно, что AB = 2, AA1 = 2.

Решение.

а) Обозначим за точку пересечения и Очевидно, что она, как и лежит в обеих плоскостях, поэтому прямая пересечения это Ее проекция на верхнее основание призмы — медиана (а значит и высота треугольника ). По теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен

б) Проведем перпендикуляры к из точек и Они упадут в одну точку (назовем ее H), поскольку призма симметрична относительно плоскости Затем вычислим угол между ними. В треугольнике имеем

 

Тогда площадь равнобедренного треугольника равна

Значит,

Тогда по теореме косинусов в треугольнике имеем

откуда Угол между плоскостями смежен к этому, поскольку не бывает тупым.

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 169.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Угол между плоскостями