Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505997

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, AC = 6, AA1 = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM = MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.

Решение.

Пусть \alpha=\angle NAC, тогда  тангенс \angle C_1AC= дробь, числитель — 2 тангенс \alpha, знаменатель — 1 минус тангенс в степени 2 \alpha равносильно тангенс \alpha= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , откуда CN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC=3.

Объем призмы V_{ABCA_1B_1C_1}=S_{ABC} умножить на AA_1= дробь, числитель — 6 в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 4 умножить на 8=72 корень из { 3};

В пирамиде ACNMB основанием является трапеция CNMB, S_{осн}= дробь, числитель — AN плюс BM, знаменатель — 2 умножить на BC= дробь, числитель — 3 плюс 4, знаменатель — 2 умножить на 6=21.

Высота пирамиды h — расстояние от точки A до плоскости CNB, h=AC умножить на синус 60 в степени circ=6 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 =3 корень из { 3}.

Тогда V_{ACNMB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на S_{осн} умножить на h= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 21 умножить на 3 корень из { 3}=21 корень из { 3}.

Объем оставшейся части V_{A_1B_1C_1ANM}=V_{ABCA_1B_1C_1} минус V_{ACNMB}=72 корень из { 3} минус 21 корень из { 3}=51 корень из { 3}.

Поэтому отношение объемов частей равно  дробь, числитель — 21 корень из { 3}, знаменатель — 51 корень из { 3 }= дробь, числитель — 7, знаменатель — 17 .

 

 

Примечание. Можно доказать, что ответ для плоскости, пересекающей боковые ребра AA_1,BB_1,C_1 в точках K, M, N соответственно, будет  дробь, числитель — AK плюс BM плюс CN, знаменатель — A_1K плюс B_1M плюс C_1N . В нашей задаче K совпадает с A и ответ  дробь, числитель — 0 плюс 4 плюс 3, знаменатель — 8 плюс 4 плюс 5 .

 

 

Ответ:  дробь, числитель — 7, знаменатель — 17 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная призма