Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505997
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1, AC  =  6, AA1 = 8. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребра BB1 и CC1 со­от­вет­ствен­но в точ­ках M и N. Найти, в каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем приз­мы, если из­вест­но, что BM  =  MB1, а AN яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла CAC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть альфа =\angle NAC, тогда тан­генс \angle C_1AC= дробь: чис­ли­тель: 2 тан­генс альфа , зна­ме­на­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те альфа конец дроби рав­но­силь­но тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да CN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC=3.

Объем приз­мы V_ABCA_1B_1C_1=S_ABC умно­жить на AA_1= дробь: чис­ли­тель: 6 в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 8=72 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;

В пи­ра­ми­де ACNMB ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся тра­пе­ция CNMB, S_осн= дробь: чис­ли­тель: AN плюс BM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BC= дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6=21.

Вы­со­та пи­ра­ми­ды h  — рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти CNB, h=AC умно­жить на синус 60 гра­ду­сов=6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Тогда V_ACNMB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на S_осн умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 21 умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Объем остав­шей­ся части V_A_1B_1C_1ANM=V_ABCA_1B_1C_1 минус V_ACNMB=72 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =51 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

По­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов ча­стей равно дробь: чис­ли­тель: 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 51 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби .

 

 

При­ме­ча­ние. Можно до­ка­зать, что ответ для плос­ко­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей бо­ко­вые ребра AA_1,BB_1,C_1 в точ­ках K, M, N со­от­вет­ствен­но, будет дробь: чис­ли­тель: AK плюс BM плюс CN, зна­ме­на­тель: A_1K плюс B_1M плюс C_1N конец дроби . В нашей за­да­че K сов­па­да­ет с A и ответ дробь: чис­ли­тель: 0 плюс 4 плюс 3, зна­ме­на­тель: 8 плюс 4 плюс 5 конец дроби .

 

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 26
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025