Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 526936

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 на ребре BB_1 отмечена точка K так, что BK : B_1K = 1 : 2. Через точку K параллельно  левая круглая скобка BDA_1 правая круглая скобка проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро CD в такой точке M, что CM=2MD.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью β, если известно, что AB=6, BC=8, BB_1=12.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведем KL в грани BB_1C_1C параллельно прямым B_1C и A_1D. Это будет ребро сечения, причем BK:KB_1=BL:LC из параллельности. Проведем LM в грани ABCD параллельно BD. Это будет ребро сечения, причем

BL:LC=DM:MC

из параллельности. Итак,

DM:MC=BK:KB_1=1:2

б) Продолжим строить сечение. Аналогично получим точки N,O,P на ребрах соответственно DD_1, D_1A_1, A_1B_1, причем:

DN:ND_1=AO:OD_1=A_1P:PB=1:2.

Продолжим стороны KP и NO до пересечения в точке T, а KL и MN до пересечения в точке S. Тогда прямая MN параллельна прямым BD и LM, PO, поэтому треугольники KNT и PTO подобны с коэффициентом 3 и треугольники KNS и LMS тоже подобны, с коэффициентом

 дробь: числитель: LM, знаменатель: KN конец дроби = дробь: числитель: LM, знаменатель: BD конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит,

S_KLMNOP=S_KNT минус S_POT плюс S_KNS минус S_LMS= дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби S_KTN плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби S_KNS= дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби S_KTN,

поскольку TNSK — параллелограмм. Вычислим стороны треугольника:

KT= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби KP=A_1B= корень из 6 в квадрате плюс 12 в квадрате =6 корень из 5,

 

KN=BD= корень из 6 в квадрате плюс 8 в квадрате =10,

 

OT= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби NO=A_1D= корень из 8 в квадрате плюс 12 в квадрате =4 корень из 13.

Найдем его площадь по формуле Герона, применив ее в раскрытом виде:

16S в квадрате =2a в квадрате b в квадрате плюс 2b в квадрате c в квадрате плюс 2c в квадрате a в квадрате минус a в степени 4 минус b в степени 4 минус c в степени 4 =

 

=2 умножить на 180 умножить на 100 плюс 2 умножить на 208 умножить на 100 плюс 2 умножить на 208 умножить на 180 минус 180 в квадрате минус 208 в квадрате минус 100 в квадрате =

 

=100 левая круглая скобка 2 умножить на 180 плюс 2 умножить на 208 минус 100 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 208 минус 180 правая круглая скобка в квадрате =100 умножить на 676 минус 28 в квадрате ;

 

S в квадрате =25 умножить на 169 минус 49=4176,

откуда S=12 корень из 29 и площадь сечения равна  дробь: числитель: 52, знаменатель: 3 конец дроби корень из 29.

 

Ответ:  дробь: числитель: 52, знаменатель: 3 конец дроби корень из 29.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.