Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521175
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC, точки P, Q, R лежат на бо­ко­вых реб­рах AS, CS и BS, при­чем дробь: чис­ли­тель: SP, зна­ме­на­тель: AP конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CQ, зна­ме­на­тель: QS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SR, зна­ме­на­тель: RB конец дроби =2.

а)  До­ка­зать, что объ­е­мы пи­ра­мид SPRQ и SABC от­но­сят­ся как 4 : 27.

б)  Найти объем пи­ра­ми­ды CPQR, если AB  =   2 и SA  =   3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

V_SQPR= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка Q,SPR пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_SPR= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,SPR пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_SAB= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби V_SABC.

б)  Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды. Она равна

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AS в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та ,

по­сколь­ку па­да­ет в такую точку T на вы­со­те ос­но­ва­ния AK, что AT:TK=2:1 и AK= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB.

Тогда:

V_CPQR= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,PQR пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_PQR= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 2d левая круг­лая скоб­ка S,PQR пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_PQR=2V_SPQR= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби V_SABC=

 

= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка S,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 184
Классификатор стереометрии: Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025