В основании пирамиды РАВС лежит равнобедренный треугольник АВС (АС = ВС). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка К — середина АВ. В эту пирамиду вписана сфера.
а) Докажите, что точка касания сферы с гранью АРВ лежит на прямой РК.
б) Найдите радиус сферы, если известно, что АВ = 6, ВС = 5, КР = 4.
а) Центр сферы лежит на всех бисекторах двугранных углов пирамиды. Бисектором двугранного угла при ребре PC будет плоскость PCK (очевидно, например, что K равноудалена от боковых граней PCA и PCB, а потому лежит на бисекторе). Поскольку прямая AB перпендикулярна прямой PK, прямая AB перпендикулярна прямой CK (медианы равнобедренных треугольников являются и высотами), то прямая AB перпендикулярна прямой PCK, поэтому перпендикуляр из центра сферы, проведенный к прямой PK, перпендикулярен заодно и 
Значит, он перпендикулярен всей плоскости и его основание лежащее на PK — точка касания сферы с гранью.
б) Имеем:
Поскольку все боковые ребра равны, высота пирамиды падает в центр описанной окружности основания, радиус которой равен:
Поэтому расстояние от центра окружности O до AB равно:
Значит, высота пирамиды 
может быть найдена из прямоугольного треугольника 
Тогда объем пирамиды равен:
Боковое ребро пирамиды равно:
Теперь вычислим боковую поверхность пирамиды. Площади нижней грани известна, APB — равнобедренный треугольник с основанием 
и высотой 
его площадь 
остальные грани — равносторонние треугольники с основанием 
и площади 
Наконец, 
Ответ: 