Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521103

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что тангенс бета = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

а) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть  M и N — середины ребер  AB и  CD соответственно. Тогда:

 PM= корень из PB в квадрате минус BM в квадрате = корень из PO в квадрате плюс OB в квадрате минус BM в квадрате = корень из PO в квадрате плюс OM в квадрате =

 

= корень из 10 в квадрате плюс 11,25 в квадрате =1,25 корень из 8 в квадрате плюс 9 в квадрате =1,25 корень из 145.

Рассмотрим треугольник PMN. В нем  MN=20, MP=PN=1,25 корень из 145. Плоскость пересекает его по прямой  MH, где  H принадлежит PN, по условию  тангенс \angle HMN= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . Поскольку прямые  HM и MN перпендикулярны прямой AB, которая является линией пересечения плоскости основания и плоскости β, это линейный угол данного двугранного угла. В то же время:

 тангенс \angle PMN= тангенс \angle PMO= дробь: числитель: PO, знаменатель: OM конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби .

Поэтому

 тангенс \angle PMH= тангенс левая круглая скобка \angle PMN минус \angle HMN правая круглая скобка = дробь: числитель: дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 59 конец дроби .

Тогда:

 синус \angle PMH= дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из 12 в квадрате плюс 59 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 корень из 145 конец дроби ,  синус \angle HMN= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ;

 

 дробь: числитель: PH, знаменатель: HN конец дроби = дробь: числитель: S_PMH, знаменатель: S_HMN конец дроби = дробь: числитель: PM умножить на MH умножить на синус \angle PMH, знаменатель: NM умножить на MH умножить на синус \angle NMH конец дроби = дробь: числитель: PM умножить на синус \angle PMH, знаменатель: NM умножить на синус \angle NMH конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Поскольку плоскость β проходит через  AB, она параллельна  CD. Проведем тогда через H прямую, параллельную  CD. Она лежит в плоскости и делит отрезок  PC в том же отношении, что и отрезок  PH по теореме Фалеса.

б) Ясно, что сечение — трапеция, причем равнобедренная (картинка симметрична относительно плоскости PMN). Далее,  MH — отрезок, соединяющий середины оснований, значит, это высота трапеции. Теперь найдём площадь сечения пирамиды плоскостью α:

S= дробь: числитель: AB плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби CD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на MH=12 умножить на дробь: числитель: HN синус \angle PNM, знаменатель: синус \angle HMN конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби умножить на PN умножить на дробь: числитель: PO, знаменатель: PN конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби = 16 PO=180.

Ответ: б) 180.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176.