В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что
а) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
а) Пусть 
и N — середины ребер 
и 
соответственно. Тогда:
Рассмотрим треугольник PMN. В нем 
Плоскость пересекает его по прямой 
где 
по условию 
Поскольку прямые 
и MN перпендикулярны прямой AB, которая является линией пересечения плоскости основания и плоскости β, это линейный угол данного двугранного угла. В то же время:
Поэтому
Тогда:
Поскольку плоскость β проходит через 
она параллельна 
Проведем тогда через H прямую, параллельную Она лежит в плоскости и делит отрезок 
в том же отношении, что и отрезок 
по теореме Фалеса.
б) Ясно, что сечение — трапеция, причем равнобедренная (картинка симметрична относительно плоскости PMN). Далее, 
— отрезок, соединяющий середины оснований, значит, это высота трапеции. Теперь найдём площадь сечения пирамиды плоскостью α:
Ответ: б) 180.