В конусе с вершиной в точке Р высота РО = 
В его основании проведена
хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус
основания конуса равен 5.
а) Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.
б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.
а) Пусть C — середина отрезка AB, тогда
и 
Очевидно 
(потому что 
), поэтому 
Итак, 
что и требовалось.
б) 
Значит, центр описанной окружности треугольника AOB лежит на продолжении OC за точку C на расстоянии 
от точки 
Обозначим эту точку за 
Тогда проекция центра X описанной сферы пирамиды POAB на плоскость основания конуса — как раз точка Кроме того, поскольку X равноудален от O и P, то X лежит в плоскости, проходящей через середину OP перпендикулярно ему и, следовательно, 
Окончательно 
Ответ: б) 