Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521908

В конусе с вершиной в точке Р высота РО =  корень из 7 . В его основании проведена

хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус

основания конуса равен 5.

а)  Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.

б)  Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть C  — середина отрезка AB, тогда OC=3 и CB= корень из 5 в квадрате минус 3 в квадрате =4. Очевидно PC\perp AB (потому что OC\perp AB), поэтому PC= корень из 3 в квадрате плюс 7=4. Итак, PC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB, что и требовалось.

б)  R_AOB= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 синус \angle OBA конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби . Значит, центр описанной окружности треугольника AOB лежит на продолжении OC за точку C на расстоянии  дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби от точки C. Обозначим эту точку за O_1. Тогда проекция центра X описанной сферы пирамиды POAB на плоскость основания конуса  — как раз точка O_1. Кроме того, поскольку X равноудален от O и P, то X лежит в плоскости, проходящей через середину OP перпендикулярно ему и, следовательно, XO_1= дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Окончательно R=XO= корень из дробь: числитель: 625, знаменатель: 36 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из 43.

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из 43.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 237.
Классификатор стереометрии: Конус, Расстояние от точки до прямой