Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505785

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона равна 6 корень из 2 . Точка K — середина ребра SC. Через прямую AK проведено сечение, параллельное одной из диагоналей основания, площадь которого равна 60. Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, сечение параллельно диагонали BD.

Проведем высоту пирамиды SO и рассмотрим треугольник ASC. AK и SO — его медианы, поэтому точка их пересечения M делит SO в отношении 2:1, считая от S. Проведем через нее прямую, параллельную BD, и обозначим точки ее пересечения с BS и DS за U и V. Она будет лежать в плоскости BSD, и UV= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BD= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из 2AB=8. AUKV — описанное в задаче сечение.

Поскольку BD\perp SO, BD\perp AC, то BD\perp ASC и в частности BD\perp AK, поэтому и UV\perp AK.

Тогда S_AUKV= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AK умножить на UV=60, откуда AK=15.

Опустим перпендикуляр из K на ABCD. Он упадет в некоторую точку L, лежащую на диагонали AC. Ясно, что L — середина OC, поэтому AL= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AC=9. Тогда по теореме Пифагора KL= корень из 15 в квадрате минус 9 в квадрате =12.

Тогда

d левая круглая скобка B,AUKV правая круглая скобка =d левая круглая скобка O,AUKV правая круглая скобка =d левая круглая скобка O,AK правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка C,AK правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2S_AKC, знаменатель: AK конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: KL умножить на AC, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 144, знаменатель: 30 конец дроби =4,8.

 

Ответ: 4,8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72.