Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 526929

В основании прямой призмы ABCA_1B_1C_1 лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем AB=AA_1. Через точку B_1 перпендикулярно CA_1 проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что AC=8, BC=6.

Спрятать решение

Решение.

а) Введем координаты с началом в точке C и осями, направленными вдоль ребер CA, CB, CC_1. Пусть AC=a, BC=b, AA_1=h= корень из a в квадрате плюс b в квадрате . Тогда нетрудно найти координаты точек B_1 левая круглая скобка 0;b;h правая круглая скобка , A_1 левая круглая скобка a;0;h правая круглая скобка . Значит, вектор нормали к плоскости сечения имеет координаты  левая фигурная скобка a;0;h правая фигурная скобка и уравнение плоскости имеет вид ax плюс hz плюс D=0. Подберем D так, чтобы плоскость проходила через B_1, получим ax плюс hz минус h в квадрате =0. Найдем теперь ее точки пересечения с ребрами призмы.

Ребро AA_1. Пусть это точка T левая круглая скобка a;0;t правая круглая скобка . Тогда:

a в квадрате плюс ht минус h в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: h в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: h конец дроби = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: h конец дроби .

Ребро C_1A_1. Пусть это точка  левая круглая скобка t;0;h правая круглая скобка . Тогда at=0, t=0 и это просто точка C_1. Эти точки можно соединить, поэтому других ребер плоскость не пересекает. Тогда:

B_1T в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: h конец дроби минус h правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: h конец дроби правая круглая скобка в квадрате =B_1C_1 в квадрате плюс C_1T в квадрате ,

поэтому сечение — прямоугольный треугольник.

 

Возможно и чисто геометрическое решение. Прямая B_1C_1 перпендикулярна грани ACC_1A_1, поэтому прямая B_1C_1 перпендикулярна прямой CA_1 и лежит в сечении. Проведем теперь из C_1 перпендикуляр к CA_1 до пересечения с AA_1 в точке T (она будет именно на ребре, поскольку AA_1=AB больше CC_1. Тогда B_1C_1T — искомое сечение и B_1C_1\perp C_1T, поскольку C_1T принадлежит CC_1A_1A. Координатное приведено здесь для того, чтобы показать силу метода координат в задачах на доказательство для человека, почти не имеющего геометрических знаний. Кстати, в нем сразу понятно, что точка лежит на ребре, ведь 0 меньше дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: h конец дроби меньше h.

б) Имеем:

V_ABCA_1B_1C_1=CC_1 умножить на S_ABC= корень из 6 в квадрате плюс 8 в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 8=240.

Далее:

V_TA_1C_1B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_C_1B_1A_1 умножить на TA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 8 умножить на A_1T=8A_1T.

Поскольку сейчас b=6, a=8, h=10, то T левая круглая скобка 8;0;3,6 правая круглая скобка , поэтому TA_1=6,4 и объем равен 51,2. Ясно, что это меньшая часть, поэтому ответ 240 минус 51,2=188,8.

 

Ответ: 188,8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.