Дано урав­не­ние где [a]  — целая часть числа а, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее а; {a}  — дроб­ная часть числа а, т. е. {a}  =   а – [a].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА  — по 45°.  

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти ВSС и АSС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

а)  На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Оху изоб­ра­зи­те фи­гу­ру, за­дан­ную не­ра­вен­ством  

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной фи­гу­ры.

На­ка­ну­не Но­во­го года Деды Мо­ро­зы рас­кла­ды­ва­ли рав­ны­ми ко­ли­че­ства­ми кон­фе­ты в по­да­роч­ные па­ке­ты, а эти па­ке­ты скла­ды­ва­ли в мешки, по 2 па­ке­та в один мешок. Те же самые кон­фе­ты они могли раз­ло­жить в па­ке­ты так, что в каж­дом из них было бы на 5 кон­фет мень­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дом мешке стало бы ле­жать по 3 па­ке­та, а меш­ков при этом по­тре­бо­ва­лось бы на 2 мень­ше. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кон­фет могли рас­кла­ды­вать Деды Мо­ро­зы?

Для  каж­до­го  зна­че­ния  па­ра­мет­ра  а  най­ди­те  наи­боль­шее  зна­че­ние  функ­ции

Чук и Гек по­оче­ред­но из­вле­ка­ют из трех ящи­ков шары. Своим ходом каж­дый может взять из лю­бо­го ящика (но толь­ко из од­но­го) любое ко­ли­че­ство шаров. Вы­иг­ры­ва­ет тот, кто за­бе­рет по­след­ний шар. Кто из маль­чи­ков может обес­пе­чить себе по­бе­ду не­за­ви­си­мо от игры со­пер­ни­ка, если ко­ли­че­ство шаров в ящи­ках равно

а)  8, 9 и 9; 

б)  1, 2 и 3; 

в)  8, 9 и 10?