Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521111

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K лежит на ребре BB_1 так, что  KB:KB_1=1:4. Плоскость α, проходящая через точки K и C_1 параллельно прямой BD_1, пересекает ребро AA_1 в точке Р.

а)  Докажите, что AP:A_1P=2:3.

б)  Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка B_1, если известно, что AB=3, BC=4, BB_1=5.

Спрятать решение

Решение.

а)  Отметим на продолжении  AB за точку  B точку  B_2 так, чтобы  BB_2=AB=DC. Тогда прямая BD_1 параллельна прямой B_2C_1, поэтому  B_2 лежит в плоскости сечения. Проведем  B_2K до пересечения с  AA_1 в точке  P. Тогда треугольники  B_2KB и  B_2PA подобны с коэффициентом  BB_2:AB_2=1:2. Значит,

 AP=2KB= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби BB_1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби AA_1,

что и требовалось доказать.

б)  Продолжим  PK до пересечения с  A_1B_1 в точке  M. Треугольники  B_2BK и  MB_1K подобны с коэффициентом  BK:B_1K=1:4, поэтому  MB_1=4BB_2=4A_1B_1. Соединим  M и  C_1. Пусть  MC_1 пересекает  A_1D_1 в точке N. Тогда

 A_1N:B_1C_1=MA_1:B_1M=3:4,

поэтому точка N делит  A_1D_1 в отношении  1:3.  C_1NPK искомое сечение. Теперь найдем объем тела B_1C_1NPK:

 V_B_1C_1NPK=V_NKB_1C_1 плюс V_NKPB_1=

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка N,KB_1C_1 правая круглая скобка умножить на S_KB_1C_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка N,PKB_1 правая круглая скобка умножить на S_PKB_1=

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KB_1 умножить на B_1C_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби D_1A_1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1K умножить на d левая круглая скобка P,B_1K правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби AB умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби AA_1 умножить на AD плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби умножить на AD умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби AA_1 умножить на AB=

 

=AD умножить на AB умножить на AA_1 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка =V_ABCDA_1B_1C_1D_1 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби =14.

Ответ: б) 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.