Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521111

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K лежит на ребре BB_1 так, что  KB:KB_1=1:4. Плоскость α, проходящая через точки K и C_1 параллельно прямой BD_1, пересекает ребро AA_1 в точке Р.

а) Докажите, что AP:A_1P=2:3.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка B_1, если известно, что AB=3, BC=4, BB_1=5.

Решение.

а) Отметим на продолжении  AB за точку  B точку  B_2 так, чтобы  BB_2=AB=DC. Тогда прямая BD_1 параллельна прямой B_2C_1, поэтому  B_2 лежит в плоскости сечения. Проведем  B_2K до пересечения с  AA_1 в точке  P. Тогда треугольники  B_2KB и  B_2PA подобны с коэффициентом  BB_2:AB_2=1:2. Значит,

 AP=2KB= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 BB_1= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 AA_1,

что и требовалось доказать.

б) Продолжим  PK до пересечения с  A_1B_1 в точке  M. Треугольники  B_2BK и  MB_1K подобны с коэффициентом  BK:B_1K=1:4, поэтому  MB_1=4BB_2=4A_1B_1. Соединим  M и  C_1. Пусть  MC_1 пересекает  A_1D_1 в точке N. Тогда

 A_1N:B_1C_1=MA_1:B_1M=3:4,

поэтому точка N делит  A_1D_1 в отношении  1:3.  C_1NPK искомое сечение. Теперь найдем объем тела B_1C_1NPK:

 V_{B_1C_1NPK}=V_{NKB_1C_1} плюс V_{NKPB_1}=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(N,KB_1C_1) умножить на S_{KB_1C_1} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(N,PKB_1) умножить на S_{PKB_1}=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 AB умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KB_1 умножить на B_1C_1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 D_1A_1 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 B_1K умножить на d(P,B_1K)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 AB умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 AA_1 умножить на AD плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 умножить на AD умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 AA_1 умножить на AB=

 

=AD умножить на AB умножить на AA_1 умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 15 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 правая круглая скобка =V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 30 =14.

Ответ: б) 14.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Построения в пространстве, Прямоугольный параллелепипед, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой