Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки с вер­ши­на­ми в цен­тре сферы,вер­ши­не S и точ­ках ка­са­ния сферы с бо­ко­вы­ми реб­ра­ми. Они все равны по ги­по­те­ну­зе (общей) и ка­те­ту (ра­ди­у­су), по­это­му у них равны и рас­сто­я­ния от точек ка­са­ния до Из усло­вия о ра­вен­стве от­но­ше­ний по­лу­ча­ем, что бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны. Сле­до­ва­тель­но, ее вы­со­та па­да­ет в центр H опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния.

Пусть это от­но­ше­ние было равно Про­дол­жим луч O (O  — центр сферы) и от­ме­тим точку так, чтобы Тогда пер­пен­ди­ку­ля­ры из на бо­ко­вые ребра будут па­дать в то есть точка рав­но­уда­ле­на от них. По­это­му ее про­ек­ция на плос­кость LMN  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка Сле­до­ва­тель­но, O лежит на Тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SHN. Пусть тогда (по­сколь­ку O рав­но­уда­ле­на от ON и SN, она лежит на бис­сек­три­се угла). Тогда

и

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть сфера ка­са­ет­ся бо­ко­вых ребер SL, SM, SN пи­ра­ми­ды в точ­ках P, Q, T со­от­вет­ствен­но. O  — центр сферы.

Тогда у пи­ра­ми­ды OPQT с ос­но­ва­ни­ем PQT бо­ко­вые ребра равны как ра­ди­у­сы сферы. А зна­чит, вер­ши­на O про­ек­ти­ру­ет­ся в центр опи­сан­ной окруж­но­сти (на­зо­вем K) около ос­но­ва­ния (дей­стви­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки PKO, QKO, TKO равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту, а зна­чит точка K рав­но­уда­ле­на от каж­дой вер­ши­ны ос­но­ва­ния PQT).

Но ведь тогда и, в об­рат­ную сто­ро­ну, в пи­ра­ми­де SPQT бо­ко­вые ребра равны, раз ее вер­ши­на S спро­ек­ти­ро­ва­лась в центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ос­но­ва­ния.

А по­сколь­ку по усло­вию точки ка­са­ния сферы делят бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды в рав­ных от­но­ше­ни­ях, счи­тая от вер­ши­ны S, то и LS  =  MS  =  NS, а также S про­ек­ти­ру­ет­ся в центр опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка LMN.

Ну и по­сколь­ку плос­ко­сти (PQT), (LMN) па­рал­лель­ны, то и точки S, K, O, H лежат на одной пря­мой.

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти около ос­но­ва­ния LMN пи­ра­ми­ды SLMN, а так же пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

По фор­му­ле Ге­ро­на где имеем:

Тогда, поль­зу­ясь фор­му­лой на­хож­де­ния ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка с пло­ща­дью S и сто­ро­на­ми a, b, с: имеем:

Об­ра­тим­ся к пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку SMH. Как мы знаем, ра­ди­ус сферы, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния сферы и плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ля­рен к ка­са­тель­ной плос­ко­сти, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков OMH и OMQ (по ги­по­те­ну­зе у ка­те­ту) сле­ду­ет, что OM  — бис­сек­три­са угла SMH.

Пусть Из тре­уголь­ни­ка OMH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка SMH:

Как толь­ко мы най­дем   — мы будем знать вы­со­ту пи­ра­ми­ды (пло­щадь ос­но­ва­ния мы уже знаем), тогда и объем будет най­ден. Итак,

На­ко­нец, из тре­уголь­ни­ка SMH:

Тогда