Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505767
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD  =  1 : 2. Из­вест­но, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 гра­ду­сов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Найти объём пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим AB=BC=AC=x, AS=BS=CS=y. Тогда апо­фе­ма пи­ра­ми­ды имеет длину ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та , а тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды

SD= синус 30 гра­ду­сов ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4y в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

За­ме­тим далее, что AD= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

За­пи­шем те­перь тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SDA. По­лу­чим y в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4y в квад­ра­те минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , то есть 36y в квад­ра­те =13x в квад­ра­те , y= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . По­это­му SD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4y в квад­ра­те минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Ясно, что d левая круг­лая скоб­ка D,SA пра­вая круг­лая скоб­ка =3d левая круг­лая скоб­ка K,SA пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби . C дру­гой сто­ро­ны, по­счи­тав пло­щадь тре­уголь­ни­ка SAD двумя спо­со­ба­ми, мы по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , от­ку­да x=12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

На­ко­нец, V_SABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =216.

 

Ответ: 216.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 69
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025