а)  От­ме­тим се­ре­ди­ны AB и CD (на­зо­вем их E и F) и про­ве­дем плос­кость через них и точку S. Се­че­ние сферы этой плос­ко­стью дает окруж­ность, впи­сан­ную в со­от­вет­ству­ю­щий тре­уголь­ник. По­стро­им от­дель­но копию этого тре­уголь­ни­ка его впи­сан­ную окруж­ность, от­ме­тим ее "верх­нюю" точку (бли­жай­шую к ) по­стро­им пря­мую, про­ход­щую через точку ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной и эту точку (на­зо­вем ее Она пе­ре­се­чет в не­ко­то­рой точке

Те­перь на ис­ход­ном ри­сун­ке от­ме­тим точку K, де­ля­щую SF в том же от­но­ше­нии, в ко­то­ром делит Про­ве­дем через нее пря­мую, па­рал­лель­ную CD, через ис­ход­ную точку ка­са­ния  — пря­мую, па­рал­лель­ную AB, от­ме­тим их точки пе­ре­се­че­ния с бо­ко­вы­ми реб­ра­ми и со­еди­ним. По­лу­чен­ная тра­пе­ция и будет се­че­ни­ем.

б)  Сразу от­ме­тим, что пря­мая, со­еди­ня­ю­щая точку K с точ­кой ка­са­ния лежит в плос­ко­сти SEF, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AB, по­это­му будет вы­со­той в тра­пе­ции. Ос­но­ва­ния же тра­пе­ции от­но­сят­ся к сто­ро­не квад­ра­та так же, как от­рез­ки от S до точки ка­са­ния или до K от­но­сят­ся к апо­фе­мам SE и SF. Те­перь пе­рей­дем к вы­чис­ле­ни­ям.

В тре­уголь­ни­ке SEF имеем По­это­му тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся SE в се­ре­ди­не SE (на­зо­вем ее L), а точка, бли­жай­шая к S и ле­жа­щая на окруж­но­сти (на­зо­вем ее ) делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии счи­тая от S.

Про­ве­дем ме­ди­а­ну ET. Она делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны (пусть в точке O). По­это­му пря­мая яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей в тре­уголь­ни­ке ESO, то есть она па­рал­лель­на ET. Зна­чит, K  — се­ре­ди­на ST, то есть

На­ко­нец, Зна­чит, пло­щадь се­че­ния равна

Ответ: