Дано урав­не­ние

А)  Ре­ши­те урав­не­ние.

Б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Через вер­ши­ну В₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на плос­кость Ω, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой ВD₁.

А)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω делит от­ре­зок ВD₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

Б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет куб плос­кость Ω.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В па­рал­ле­ло­грам­ме (от­лич­ном от ромба) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы че­ты­рех углов.

А)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ни­ке, огра­ни­чен­ном бис­сек­три­са­ми, диа­го­на­ли равны.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го бис­сек­три­са­ми, если из­вест­но, что сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 3 и 5 , а угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

В бас­сейн про­ве­де­ны три трубы. Пер­вая труба на­ли­ва­ет 30 м³ воды в час. Вто­рая труба на­ли­ва­ет в час на 3V м³ мень­ше, чем пер­вая (0 < V < 10), а тре­тья труба на­ли­ва­ет в час на 10V м³ боль­ше пер­вой. Сна­ча­ла пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют 30% бас­сей­на, а затем все три трубы, ра­бо­тая вме­сте, на­ли­ва­ют остав­ши­е­ся 0,7 бас­сей­на. При каком зна­че­нии V бас­сейн быст­рее всего на­пол­нит­ся ука­зан­ным спо­со­бом?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство зна­че­ний функ­ции со­дер­жит про­ме­жу­ток При каж­дом таком а ука­жи­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции

А)  Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.

Б)  Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.

В)  До­ка­жи­те, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (боль­ше­го двух) ко­ли­че­ства по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.