Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 506063
i

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость MKS через се­ре­ди­ны ребер AB и AD. В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью MKS.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Пусть центр впи­сан­но­го шара  — точка О, Е  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, F  — се­ре­ди­на от­рез­ка CD, L  — точка пе­ре­се­че­ния MK и АС, при­над­ле­жит SL,OH\bot левая круг­лая скоб­ка SK пра­вая круг­лая скоб­ка .

Плос­кость MSF разо­бьет за­дан­ную пи­ра­ми­ду на две сим­мет­рич­ные пи­ра­ми­ды. Оче­вид­но, что центр впи­сан­но­го шара лежит в этой плос­ко­сти и на вы­со­те SE за­дан­ной пи­ра­ми­ды. Ра­ди­ус шара R будет равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник MSF.

AC=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; AE=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; AL=LE= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; SE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AS конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус AE в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 18 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

MS=FS= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SC конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус FC в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 9 конец ар­гу­мен­та =4; MF=AD=6. Зна­чит, p левая круг­лая скоб­ка MSF пра­вая круг­лая скоб­ка =7, S левая круг­лая скоб­ка MSF пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MF умно­жить на SE=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

S левая круг­лая скоб­ка MSF пра­вая круг­лая скоб­ка =p левая круг­лая скоб­ка MSF пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на R, R= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ис­ко­мое се­че­ние есть круг. Ра­ди­ус его обо­зна­чим r. Оче­вид­но, что r в квад­ра­те =R в квад­ра­те минус OH в квад­ра­те . Най­дем OH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SHO OH=SO умно­жить на синус \angle OSH.

SO=SE минус R= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке LSE

тан­генс \angle LSE= дробь: чис­ли­тель: LE, зна­ме­на­тель: SE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби = тан­генс \angle OSH.

c тан­генс \angle OSH= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те \angle OSH конец дроби =1 плюс c тан­генс в квад­ра­те \angle OSH=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . синус \angle OSH= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

OH=SO умно­жить на синус \angle OSH= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 161 конец ар­гу­мен­та конец дроби . r в квад­ра­те =R в квад­ра­те минус OH в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: 161 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 207 минус 144, зна­ме­на­тель: 161 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: 161 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 23 конец дроби .

S_= Пи r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 23 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 23 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 37
Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025