СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521079

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями BC и АD. Точка К — середина ребра . Плоскость α проходит через середины ребер AB и параллельно прямой .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость , если известно, что .

Решение.

а) Обозначим середины за соответственно. Поскольку  — средняя линия треугольника она параллельна поэтому точка лежит в сечении. Проведем в нижнем основании. Это средняя линия треугольника поэтому ее продолжение — средняя линия трапеции Следовательно, плоскость сечения параллельна BC. Проведем через точку прямую, параллельную (это KT). Тогда KMNT — искомое сечение. Поскольку в нем KT, BC и MN параллельны, это трапеция. А поскольку треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (призма прямая), то и то есть трапеция равнобедренная.

б) Заметим, что Высота трапеции равна

Найдем объем тела Сначала найдём объём тела KBCNM:

 

Теперь найдём объём тела NKTC:

 

Тогда объем тела KTCNMB равен Объем всей призмы равен

поэтому объем большей части равен 1416.

 

Ответ: 1416.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 173.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Прямая призма, Сечение -- параллелограмм, Сечение -- трапеция, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой