Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521079

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями BC и АD. Точка К — середина ребра BB_1. Плоскость α проходит через середины ребер AB и BB_1 параллельно прямой B_1D.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость \alpha, если известно, что  BC = 7, AD=25, AB=15, BB_1=8.

Решение.

а) Обозначим середины  AB, CD, CC_1, BD за  M, N, T, U соответственно. Поскольку  KU — средняя линия треугольника  B_1BD, она параллельна  BD_1, поэтому точка  U лежит в сечении. Проведем  MU в нижнем основании. Это средняя линия треугольника  ABD, поэтому ее продолжение — средняя линия трапеции  MN. Следовательно, плоскость сечения параллельна BC. Проведем через точку  K прямую, параллельную  BC (это KT). Тогда KMNT — искомое сечение. Поскольку в нем KT, BC и MN параллельны, это трапеция. А поскольку треугольники  KBM и  TCN равны по двум сторонам и углу между ними (призма прямая), то и  MK=TN, то есть трапеция равнобедренная.

б) Заметим, что  KT=BC=7,  MN= дробь, числитель — BC плюс AD, знаменатель — 2 =16. Высота трапеции  ABCD равна

 корень из { AB в степени 2 минус левая круглая скобка дробь, числитель — AD минус BC, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 }=12.

Найдем объем тела KTCNMB. Сначала найдём объём тела KBCNM:

V_{KBCNM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(K,(ABCD)) умножить на S_{MBCN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BB_1 умножить на дробь, числитель — BC плюс MN, знаменатель — 2 умножить на d(B,MN)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 умножить на 8 умножить на 23 умножить на 6=92.

Теперь найдём объём тела NKTC:

V_{NKTC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(N,(KTC)) умножить на S_{KTC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(D,BCC_1B_1) умножить на дробь, числитель — KT умножить на TC, знаменатель — 2 =

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 умножить на 12 умножить на 7 умножить на 4=28.

Тогда объем тела KTCNMB равен V_{KTCNMB}=92 плюс 28=120. Объем всей призмы равен

 8 умножить на дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 умножить на 12=96 умножить на 16=1536,

поэтому объем большей части равен 1416.

 

Ответ: 1416.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 173.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Прямая призма, Сечение -- параллелограмм, Сечение -- трапеция, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой