Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505901

Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.

Решение.

Обозначим объем всей пирамиды за V. Пусть S — вершина пирамиды, а K и L — середины ребер SC и SD соответственно. Тогда KL\parallel CD\parallel AB, поэтому сечение пирамиды — трапеция ABKL.

V_{SABKL}=V_{SABL} плюс V_{SBKL}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{SAB}d(L,SAB) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{SLK}d(B,SLK)=

 

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 S_{SAB}d(D,SAB) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 S_{SDC}d(B,SDC)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 V_{SABD} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 V_{SBCD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 V плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 V= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 V.

Значит, объем нижней части равен  дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 V и ответ 3 : 5.

 

Ответ: 3 : 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 10.
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Четырехугольная пирамида