Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512466

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Решение.

Изобразим осевое сечение комбинации заданных тел (см. рисунок).

а) Пусть образующая конуса равна 2а, высота — 2r. Тогда: полная поверхность конуса

{{S}_{k}}= Пи a умножить на 2a плюс Пи {{a} в степени 2 }=3 Пи {{a} в степени 2 }.

Ясно, что 2r — это диаметр шара.

Выразим зависимость r и a.

2r= дробь, числитель — 2a умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 =a корень из { 3} равносильно r= дробь, числитель — a умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Поверхность шара {{S}_{ш}}=4 Пи {{r} в степени 2 }=4 Пи умножить на дробь, числитель — 3{{a} в степени 2 }, знаменатель — 4 =3 Пи {{a} в степени 2 }.

Итак, {{S}_{k}}={{S}_{ш}}, что и требовалось доказать.

б) Часть конуса, которая лежит внутри шара (объем этого тела обозначим V1)представляет собой объединение:

другого равностороннего конуса, осевым сечением которого является ΔMBN (его объем обозначим Vk1, высоту — hk1);

шарового сегмента MDN (объем обозначим Vσ), высота hσ которого равна  дробь, числитель — r, знаменатель — 2 .

{{V}_{k_1}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи {{b} в степени 2 }{{h}_{k_1}}.

Очевидно,

{{b} в степени 2 }={{r} в степени 2 } минус {{ левая круглая скобка дробь, числитель — r, знаменатель — 2 правая круглая скобка } в степени 2 }={{r} в степени 2 } минус дробь, числитель — {{r} в степени 2 }, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3{{r} в степени 2 }, знаменатель — 4 ;{{h}_{k_1}}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 r.

 

{{V}_{k_1}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи умножить на дробь, числитель — 3{{r} в степени 2 }, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 r= дробь, числитель — 3 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 8 .

 

{{V}_{\sigma }}= Пи {{h} в степени 2 } левая круглая скобка r минус дробь, числитель — r, знаменатель — 2 умножить на 3 правая круглая скобка = Пи умножить на дробь, числитель — {{r} в степени 2 }, знаменатель — 4 дробь, числитель — 5r, знаменатель — 6 = дробь, числитель — 5 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 24 .

 

{{V}_{1}}={{V}_{k_1}} плюс {{V}_{\sigma }}= дробь, числитель — 14 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 24 = дробь, числитель — 7 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 12 .

Часть шара, лежащая вне конуса (объем обозначим V2), есть дополнение только что рассмотренного геометрического тела до построенного шара (объем обозначим Vш).

{{V}_{2}}={{V}_{ш}} минус {{V}_{1}}= дробь, числитель — 4 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 3 минус дробь, числитель — 7 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 12 = дробь, числитель — 9 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 12 равносильно дробь, числитель — {{V}_{1}}, знаменатель — {{V _{2}}}= дробь, числитель — 7 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 12 : дробь, числитель — 9 Пи {{r} в степени 3 }, знаменатель — 12 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 138.
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Шар