Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Внут­ри куба рас­по­ло­же­ны два рав­ных шара, ка­са­ю­щих­ся друга. При этом один шар ка­са­ет­ся трех гра­ней куба, име­ю­щих общую вер­ши­ну, а дру­гой ка­са­ет­ся трех остав­ших­ся гра­ней.

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры шаров при­над­ле­жат диа­го­на­ли куба, ис­хо­дя­щей из общей для гра­ней вер­ши­ны.

б)  Най­ди­те ра­ди­у­сы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­рез­ки CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  KO.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет 0,09 пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

Иван Пет­ро­вич по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год в счет по­га­ше­ния кре­ди­та он вер­нул в банк 1/6 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни. А еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та Иван Пет­ро­вич внес в банк сумму, на 20% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра си­сте­ма урав­не­ний имеет един­ствен­ное ре­ше­ние?

На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти по­лу­чен­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Какое наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?