В правильной треугольной пирамиде SABC точки M, N и K — середины ребер основания, а P, Q и R делят боковые ребра SA, SB и SC в отношении 1 : 2, считая от вершины.
а) Доказать, что точки M, N, K, P, Q, R — лежат на одной сфере.
б) При каких углах наклона бокового ребра к основанию центр сферы лежит вне пирамиды SABC.
а) Поскольку прямая PQ параллельна прямой AB, прямая QR параллельна прямой BC, плоскости ABC и PQR параллельны. Пирамида SPQR тоже правильная, поэтому ее высота проходит через центр T описанной окружности треугольника 
Она же является высотой пирамиды SABC и проходит через центр вписанной окружности ABC, то есть центр описанной окружности 
Таким образом, осталось найти на этой высоте точку I так, чтобы 
такая точка и будет центром сферы. Заметим, что треугольники PQR и MNK подобны треугольнику ABC с коэффициентами 
и 
соответственно, поэтому их радиусы описанных окружностей отличаются во столько же раз. Пусть 
тогда 
Пусть, далее, высота пирамиды равна 
Изобразим сечение пирамиды плоскостью 
Пусть, наконец, 
причем если I лежит ниже O мы считаем, что
Тогда 
осталось приравнять расстояния. Имеем:
(это верно при любом положении точки I);
Итак, мы доказали существование центра сферы.
б) Требуется, чтобы 
то есть
Значит,
Ответ: 