Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521189

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.

б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

Решение.

а) Обозначим радиус основания конуса за R, высоту за H, за r и h — радиус и высоту цилиндра. Проведем осевое сечение конуса. В нем верхнее основание цилиндра будет средней линией треугольника, поэтому радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса. Высота цилиндра — тоже половина высоты конуса. Объем конуса равен:

72= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи R в степени 2 H,

отсюда:

R в степени 2 H= дробь, числитель — 216, знаменатель — Пи ;

 

v= Пи r в степени 2 h= дробь, числитель — Пи R в степени 2 H, знаменатель — 8 = дробь, числитель — 216, знаменатель — 8 =27.

б) В осевом сечении образуются два подобных треугольник (см. рисунок). Значит,

 дробь, числитель — H минус h, знаменатель — r = дробь, числитель — h, знаменатель — R минус r ,

 

HR минус Hr минус hR=0,

Значит, h= дробь, числитель — HR минус Hr, знаменатель — R . Объем цилиндра равен:

 Пи r в степени 2 h= Пи r в степени 2 умножить на дробь, числитель — HR минус Hr, знаменатель — R = Пи (r в степени 2 R минус r в степени 3 ) дробь, числитель — H, знаменатель — R .

Нужно максимизировать r в степени 2 R минус r в степени 3 . Возьмем производную по r:

2Rr минус 3r в степени 2 =0 равносильно совокупность выражений r=0(минимум),r= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 R. конец совокупности .

Крайние значения можно не проверять (r=0 или r=R, там объем равен нулю). Имеем:

v_{max}= Пи (r в степени 2 R минус r в степени 3 ) дробь, числитель — H, знаменатель — R = дробь, числитель — 4, знаменатель — 27 R в степени 2 H= дробь, числитель — 4, знаменатель — 27 умножить на дробь, числитель — 216, знаменатель — Пи =32.

 

Ответ: а) 27; б) 32.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186.
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Цилиндр