ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 521189 Добавить в вариант

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

а)  Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.

б)  Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

Спрятать решение

Решение.

а)  Обозначим радиус основания конуса за R, высоту за H, за r и h  — радиус и высоту цилиндра. Проведем осевое сечение конуса. В нем верхнее основание цилиндра будет средней линией треугольника, поэтому радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса. Высота цилиндра  — тоже половина высоты конуса. Объем конуса равен:

$72= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате H,$

отсюда:

$R в квадрате H= дробь: числитель: 216, знаменатель: Пи конец дроби ;$

$v = Пи r в квадрате h= дробь: числитель: Пи R в квадрате H, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 216, знаменатель: 8 конец дроби =27.$

б)  В осевом сечении образуются два подобных треугольник (см. рис.). Значит,

$дробь: числитель: H минус h, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: R минус r конец дроби ,$

$HR минус Hr минус hR=0,$

Значит, $h= дробь: числитель: HR минус Hr, знаменатель: R конец дроби .$ Объем цилиндра равен:

$Пи r в квадрате h= Пи r в квадрате умножить на дробь: числитель: HR минус Hr, знаменатель: R конец дроби = Пи левая круглая скобка r в квадрате R минус r в кубе правая круглая скобка дробь: числитель: H, знаменатель: R конец дроби .$

Нужно максимизировать $r в квадрате R минус r в кубе .$ Возьмем производную по $r:$

$2Rr минус 3r в квадрате =0 равносильно совокупность выражений r=0 левая круглая скобка минимум правая круглая скобка ,r= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби R. конец совокупности .$

Крайние значения можно не проверять ( $r=0$ или $r=R,$ там объем равен нулю). Имеем:

$v _max= Пи левая круглая скобка r в квадрате R минус r в кубе правая круглая скобка дробь: числитель: H, знаменатель: R конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 27 конец дроби R в квадрате H= дробь: числитель: 4, знаменатель: 27 конец дроби умножить на дробь: числитель: 216, знаменатель: Пи конец дроби =32.$

Ответ: а) 27; б) 32.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186

Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Цилиндр

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь