а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB  — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ме­ди­а­не AD ос­но­ва­ния ABC. Найти от­но­ше­ние объ­е­ма тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, от­се­ка­е­мой от ис­ход­ной про­ве­ден­ной плос­ко­стью, к объ­е­му пи­ра­ми­ды SABC.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны OA и OD тре­уголь­ни­ка AOD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что MK  =  NL.

б)  Най­ди­те MN, если из­вест­но, что BC  =  3, AD  =  8 и MK : KL  =  1 : 3.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся трой­ки целых чисел a, b и c, для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

а)  Может ли слу­чить­ся, что d = 2?

б)  может ли слу­чить­ся, что d  — про­стое число?