а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

На реб­рах AA₁ и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки E и F такие, что AE = 2A₁E, CF = 2C₁F. Через точки B, E и F про­ве­де­на плос­кость, де­ля­щая куб на две части. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­ма части, со­дер­жа­щей точку B₁, к объ­е­му всего куба.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O и Q пе­ре­се­ка­ют­ся друг с дру­гом в точ­ках A и B, пе­ре­се­ка­ют бис­сек­три­су угла OAQ в точ­ках C и D со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки OQ и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, при­чем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков OAE и QAE равны со­от­вет­ствен­но 18 и 42.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AQO и BDC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка OAQD.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние?

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, 1/4,… вы­де­лить ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а)  дли­ной 4;

б)  дли­ной 5;

в)  дли­ной k, где k  — любое на­ту­раль­ное число?