В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое ребро BB1 равно 12. На ребре BB1 отмечена точка M так, что BM : B1M = 1 : 7.
а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1.
б) Найдите объем пирамиды MACD1.
а) Обозначим точку пересечения диагоналей основания за O и введем координаты с началом в O и осями, направленными по OC, OD и высоте призмы. Тогда координаты некоторых точек будут такими: 
Составим уравнение плоскости 
Пусть это 
тогда (подставляя все три точки) находим:
Из последних двух уравнений 
можно взять 
и 
тогда первое уравнение тоже выполнится. Итак, уравнение плоскости 
нормаль к плоскости 
Вектор MD имеет координаты 
поэтому он коллинеарен нормали, что и требовалось доказать.
б) Найдём объём пирамиды MACD1:
Ответ: б) 54.