Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521118

В пирамиде SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА — по 45°.  

а) Докажите, что плоскости ВSС и АSС перпендикулярны.  

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA=SB=2,  SC= 2 корень из 2.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме косинусов для трехгранного угла имеем:

 косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус \widehat левая круглая скобка BSC,ASC правая круглая скобка ;

 

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус \widehat левая круглая скобка BSC,ASC правая круглая скобка ;

 

 косинус \widehat левая круглая скобка BSC,ASC правая круглая скобка =0.

Значит, плоскости перпендикулярны.

б) Треугольник  ABS равнобедренный с углом, противолежащим основанию,  60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , поэтому он — равносторонний,  AB=2. Треугольники  ASC и  BSC равны равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетом  2 по первому признаку, поэтому  BC=AC=2. Значит, площадь поверхности пирамиды равна:

 2S_ABC плюс 2S_ACS=2 корень из 3 плюс 4.

Теперь вычислим ее объем. По теореме о трех перпендикулярах проекцией S на  ABC должна быть такая точка  T, что прямая TB перпендикулярна прямой CB и прямая TA перпендикулярна прямой CA. Тогда  TAB — треугольник с углами  30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка и 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , поэтому:

 TB= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

Тогда:

 ST= корень из SB в квадрате минус TB в квадрате = корень из дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .

Теперь найдём объём пирамиды SABC:

 V_ABCS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из 3= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из 2.

Радиус вписанной сферы равен:

 дробь: числитель: 3V, знаменатель: S конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 2, знаменатель: 2 корень из 3 плюс 4 конец дроби =2 корень из 2 минус корень из 6.

Ответ:  2 корень из 2 минус корень из 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178.