Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521118
i

В пи­ра­ми­де SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА  — по 45°.  

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти ВSС и АSС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что SA=SB=2,  SC= 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для трех­гран­но­го угла имеем:

ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \widehat левая круг­лая скоб­ка BSC,ASC пра­вая круг­лая скоб­ка ;

 

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус \widehat левая круг­лая скоб­ка BSC,ASC пра­вая круг­лая скоб­ка ;

 

ко­си­нус \widehat левая круг­лая скоб­ка BSC,ASC пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Зна­чит, плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Тре­уголь­ник ABS рав­но­бед­рен­ный с углом, про­ти­во­ле­жа­щим ос­но­ва­нию, 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му он  — рав­но­сто­рон­ний, AB=2. Тре­уголь­ни­ки ASC и BSC равны рав­но­бед­рен­но­му пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку с ка­те­том 2 по пер­во­му при­зна­ку, по­это­му BC=AC=2. Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна:

2S_ABC плюс 2S_ACS=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4.

Те­перь вы­чис­лим ее объем. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах про­ек­ци­ей S на ABC долж­на быть такая точка T, что пря­мая TB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CB и пря­мая TA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CA. Тогда TAB  — тре­уголь­ник с уг­ла­ми 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му:

TB= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда:

ST= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SB в квад­ра­те минус TB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Те­перь найдём объём пи­ра­ми­ды SABC:

V_ABCS= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ра­ди­ус впи­сан­ной сферы равен:

дробь: чис­ли­тель: 3V, зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178
Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность плос­ко­стей, Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025