Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 526922
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA_1B_1C_1 лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB=AC.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A_1BCC_1B_1 со­став­ля­ет дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды A_1BCC_1B_1, если из­вест­но, что AB=5, BC=6, AA_1=15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

V_A_1BCC_1B_1=V_ABCA_1B_1C_1 минус V_A_1ABC=

 

=V_ABCA_1B_1C_1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AA_1 умно­жить на S_ABC=

 

=V_ABCA_1B_1C_1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1.

б)  Если центр этой сферы спро­еци­ро­вать на B_1C_1CB, он по­па­дет в центр грани. Тогда он лежит на пря­мой, со­еди­ня­ю­щей центр грани и пер­пен­ди­ку­ляр­ной AA_1, Зна­чит, он рав­но­уда­лен от A и A_1. По­это­му сфера опи­са­на на самом деле около приз­мы. Най­дем сна­ча­ла ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти ABC:

R= дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на BC умно­жить на AC, зна­ме­на­тель: 4S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Со­еди­ним цен­тры опи­сан­ных окруж­но­стей ос­но­ва­ний и возь­мем се­ре­ди­ну от­рез­ка между ними. Это и есть центр сферы, а ее ра­ди­ус тогда равен:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AA_1 в квад­ра­те плюс R_ABC конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 625, зна­ме­на­тель: 64 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 25 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 65, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 65, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 198
Классификатор стереометрии: Объем тела, Опи­сан­ный шар, Пря­мая приз­ма, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025