Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 526922

В основании прямой призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC.

а) Докажите, что объем пирамиды A_1BCC_1B_1 составляет  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 объема призмы.

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды A_1BCC_1B_1, если известно, что AB=5, BC=6, AA_1=15.

Решение.

а) Имеем:

V_{A_1BCC_1B_1}=V_{ABCA_1B_1C_1} минус V_{A_1ABC}=

 

=V_{ABCA_1B_1C_1} минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 AA_1 умножить на S_{ABC}=

 

=V_{ABCA_1B_1C_1} минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 V_{ABCA_1B_1C_1}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 V_{ABCA_1B_1C_1}.

б) Если центр этой сферы спроецировать на B_1C_1CB, он попадет в центр грани. Тогда он лежит на прямой, соединяющей центр грани и перпендикулярной AA_1, Значит, он равноудален от A и A_1. Поэтому сфера описана на самом деле около призмы. Найдем сначала радиус описанной окружности ABC:

R= дробь, числитель — AB умножить на BC умножить на AC, знаменатель — 4S_{ABC }= дробь, числитель — 150, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на корень из { AB в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 BC в степени 2 }= дробь, числитель — 150, знаменатель — 48 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 8 .

Соединим центры описанных окружностей оснований и возьмем середину отрезка между ними. Это и есть центр сферы, а ее радиус тогда равен:

 корень из { дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AA_1 в степени 2 плюс R_{ABC} в степени 2 }= корень из { дробь, числитель — 225, знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — 625, знаменатель — 64 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 корень из { 144 плюс 25}= дробь, числитель — 65, знаменатель — 8 .

Ответ:  дробь, числитель — 65, знаменатель — 8 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Описанный шар, Прямая призма, Шар