Пусть r  — ‍ ис­ко­мый ра­ди­ус. Со­еди­ним по­пар­но цен­тры шаров. По­лу­чим пра­виль­ный тет­ра­эдр со сто­ро­ной 2r.‍ Так как шары впи­са­ны в трёхгран­ные углы при вер­ши­нах пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, то их цен­тры лежат на со­от­вет­ству­ю­щих вы­со­тах тет­ра­эд­ра. По­это­му центр пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с вер­ши­на­ми в цен­трах дан­ных шаров сов­па­да­ет с цен­тром O‍ дан­но­го пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра.

Пусть шар ра­ди­у­са r‍ с цен­тром O‍₁,‍ впи­сан­ный в трёхгран­ный угол с вер­ши­ной D,‍ ка­са­ет­ся плос­ко­сти грани ABD‍ дан­но­го пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD‍ со сто­ро­ной a‍ в точке P.‍

Тогда

Пусть M  — ‍ центр ос­но­ва­ния ABC,‍ K  — ‍ се­ре­ди­на AB,‍ φ  — ‍ угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра и плос­ко­стью его грани. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DMK‍ на­хо­дим, что

Зна­чит, или от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: