Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a. Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Первый способ. Пусть ABCDP — данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P, AB = BC = CD = AD = a, M — центр квадрата ABCD, K — середина отрезка AB.
Поскольку PK ⊥ AB и MK ⊥ AB, угол PKM — линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию ∠PKM = 45°.
Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM — высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что 
Пусть α — угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
Тогда
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABCD, он лежит на прямой PM. Рассмотрим сечение пирамиды ABCDP плоскостью, проходящей через точки A, P и C. Получим треугольник APC, около которого описана окружность с центром, лежащим на высоте PM, причём радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCDP, а так как 
то
Второй способ. Пусть ABCDP — данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P, AB = BC = CD = AD = a, M — центр квадрата ABCD, K — середина отрезка AB.
Поскольку PK ⊥ AB и MK ⊥ AB, угол PKM — линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию ∠PKM = 45°.
Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM — высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что 
Пусть прямая PM вторично пересекает описанную сферу в точке Q. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A, P и Q. Получим окружность радиуса R (радиус сферы), с центром на отрезке PQ. Поскольку PQ — диаметр окружности, треугольник APQ — прямоугольный, а AM — его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому AM2 = PM · MQ = PM(2R − PM), или 
откуда находим, что 
Ответ: 