В правильной треугольной пирамиде SABC через вершину C нижнего основания проведено сечение, параллельное АВ. Сечение пересекает AS в точке M и SB в точке N. Прямая MN равноудалена от прямой SC и плоскости АВС. Точка K — середина AB .
а) Доказать, что биссектриса CL треугольника KSC принадлежит плоскости сечения.
б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения делит пирамиду, если АС = 1 и AS = 2.
а) Исследуем, в каком отношении SK делится отрезком 
Пусть это отношение равно 
Обозначим их точку пересечения за T, 
Тогда:
поскольку если опустить на CS перпендикуляры из T и K, то треугольники получатся подобными с коэффициентом 
По условию:
Тогда:
Итак, точка T делит отрезок SK в том же отношении, в котором его должна делить биссектриса — в отношении остальных двух сторон. Значит, CT и есть биссектриса.
б) Эти многогранники — пирамиды с общей высотой из 
Поэтому отношение их объемов равно отношению площадей оснований SMN и 
В треугольнике SCK имеем 
и 
поэтому
поэтому
Значит, и площади треугольников SMN и SAB относятся как 
а нужные нам площади — как
Ответ: 