Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD длина вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны S на ос­но­ва­ние ABCD, равна Через точку ка­са­ния с бо­ко­вой гра­нью SAB впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду шара па­рал­лель­но пря­мой АВ про­ве­де­на плос­кость, про­хо­дя­щая через бли­жай­шую к вер­ши­не S точку шара.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если АВ =

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли АС и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Кроме того, во­круг него можно опи­сать окруж­ность. Из точек В и С опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры на пря­мую AD. Они пе­ре­се­ка­ют пря­мые АС и BD со­от­вет­ствен­но в точ­ках E и F.

а)  До­ка­жи­те, что BCFE  — ромб.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка BCFE к пло­ща­ди впи­сан­но­го в него круга, если BF : CE  =  3 : 4.

В род­ном го­ро­де Ари­стар­ха Лу­ко­ва-Ар­ба­ле­то­ва ко­ли­че­ство людей, поль­зу­ю­щих­ся же­лез­ной до­ро­гой, по­сто­ян­но. Из этих людей свой про­езд опла­чи­ва­ют 10%, а ещё 10% вы­пла­той штра­фов за без­би­лет­ный про­езд до­во­дят по­лу­ча­е­мую РЖД (ру­ко­вод­ством же­лез­ной до­ро­ги) при­быль до 100% от ожи­да­е­мой. По­ску­пив­шись пла­тить кон­тролёрам, взи­мав­шим штра­фы, РЖД огра­ни­чи­ло вход на все стан­ции тур­ни­ке­та­ми, сто­и­мость уста­нов­ки ко­то­рых со­ста­ви­ла 100% от го­до­вой при­бы­ли. Цена про­ез­да вы­рос­ла на 50%, по­сколь­ку РЖД пла­ни­ро­ва­ло оку­пить тур­ни­ке­ты за 2 года, а кон­тролёры были уво­ле­ны. Од­на­ко 10% пас­са­жи­ров воз­му­ти­лись про­яв­лен­ным со сто­ро­ны РЖД не­до­ве­ри­ем и по­вы­ше­ни­ем цен на би­ле­ты и пе­ре­ста­ли поль­зо­вать­ся же­лез­ной до­ро­гой. Осталь­ные 90% пас­са­жи­ров про­дол­жи­ли ез­дить, и в пер­вый месяц все они опла­чи­ва­ли свой про­езд. На вто­рой месяц в кассы РЖД не по­па­ли день­ги ещё 10% от пер­во­на­чаль­но­го числа кли­ен­тов, так как их фи­зи­че­ская под­го­тов­ка ока­за­лась до­ста­точ­ной для бес­пре­пят­ствен­но­го пре­одо­ле­ния тур­ни­ке­тов. А в связи с по­яв­ле­ни­ем дырок в за­бо­рах около стан­ций с каж­дым по­сле­ду­ю­щим ме­ся­цем этот про­цент стал уве­ли­чи­вать­ся на 2 и рос бы до тех пор, пока все быв­шие зайцы не нашли бы спо­соб ез­дить в обход тур­ни­ке­тов. По­это­му каж­дые пол­го­да с мо­мен­та уста­нов­ки тур­ни­ке­тов РЖД тра­тит 15% ожи­да­е­мой ме­сяч­ной при­бы­ли на ре­монт за­бо­ров, из-за чего про­цент зай­цев вновь воз­вра­ща­ет­ся к 10 от пер­во­на­чаль­но­го числа всех поль­зо­ва­те­лей же­лез­ной до­ро­ги, и затем си­ту­а­ция с двух­про­цент­ным при­ро­стом зай­цев по­вто­ря­ет­ся. За какой срок оку­пит­ся и оку­пит­ся ли уста­нов­ка тур­ни­ке­тов, если срок их ра­бо­ты  — 10 лет, а кон­тролёров РЖД так и не наймёт?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство имеет един­ствен­ное це­ло­чис­лен­ное ре­ше­ние. Для най­ден­ных зна­че­ний a вы­пи­ши­те это ре­ше­ние.

Про­из­ве­де­ние трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем не­ко­то­ро­го числа вида n² + 1, где

а)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 12.

б)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 10 или 11.