Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505665

На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.

Решение.

Для удобства будем считать, что куб единичный. Тогда отрезки AE и CF равны по  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . В плоскости грани ABB1A1 продолжим прямую BE до пересечения с прямой A1B1, в плоскости грани BB1С1С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B1C1. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A1B1C1D1. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A1D1 и D1C1 соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.

Треугольники A1PE и ABE подобны по 2 углам (∠PEA1 = ∠BEA, как вертикальные; ∠PA1E = ∠EAB = 90°), тогда

 дробь, числитель — PA_1, знаменатель — AB = дробь, числитель — A_1E, знаменатель — EA \RightarrowPA_1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Аналогично C_1S = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . Далее, треугольники PA1M и PB1S подобны по 2-м углам, откуда получим:

 дробь, числитель — A_1M, знаменатель — B_1S = дробь, числитель — PA_1, знаменатель — PB_1 \RightarrowA_1M = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \Bigr/ дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Аналогично NC_1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Объем нужной нам части можно найти, как разность объемов прямоугольной пирамиды PBB_1S и прямоугольных пирамид PA_1ME и SC_1NF (так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):

V_{PBB_1S} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{BB_1S} умножить на B_1P = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 1 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 .

 

V_{PA_1ME} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{A_1ME} умножить на A_1P = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 72 .

Тогда получим:

V_o = V_{PBB_1S} минус 2V_{PA_1ME} = дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 минус 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 72 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 72 .

 

Ответ: 25 : 72.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 52.
Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Построения в пространстве, Сечение, проходящее через три точки