Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.
Пусть высота DH пирамиды ABCD с вершиной D является высотой боковой грани BDC. Предположим, что она проведена к боковой стороне. Пусть 
Заметим, что 
так как в противном случае ABCD, но высота правильного тетраэдра не совпадает с высотой его боковой грани. Из равенства всех граней пирамиды следует, что 
и высота DP равнобедренного треугольника ADC, опущенная на боковую сторону AC, равна высоте DH равнобедренного треугольника BCD, опущенной на боковую сторону BC, Но это невозможно, поскольку DH — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP — наклонная к этой плоскости, проведенная из той же точки. Таким образом, DH — высота равнобедренного треугольника BDC, проведенная к основанию.
Так как высота боковой грани совпадает с высотой всей пирамиды, то плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания ABC. Введем обозначения: CD = BD = a, BC = b, DH = h (H — середина стороны BC, так как DH высота и медиана в р/б треугольнике DBC). Так как все грани являются равными треугольниками, то получаем, что AB = AC = a, AD = b, AH = h. Далее, докажем, что наибольшими противоположными ребрами пирамиды являются ребра AD и BC, выразив их через h. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора получаем: 
Из треугольника DCH по теореме Пифагора получим:
Отсюда видно, что 
то есть ребро b является наибольшим. Значит, расстояние 1, заданное по условию, — это расстояние между ребрами AD и BC. Так как плоскость (ADH) перпендикулярна прямой BC (
), то расстоянием между AD и BC является перпендикуляр, опущенный из точки H на прямую AD в плоскости (ADH). Тогда соединяем H с серединой стороны AD — отрезок HK является медианой в равнобедренном треугольнике ADH, а следовательно, и высотой.
По теореме Пифагора из треугольника KDH получим:
Осталось найти объем пирамиды:
Ответ: