Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505641

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.

Решение.

Пусть высота DH пирамиды ABCD с вершиной D является высотой боковой грани BDC. Предположим, что она проведена к боковой стороне. Пусть BC=BD=b, CD=a. Заметим, что a не равно b, так как в противном случае ABCD, но высота правильного тетраэдра не совпадает с высотой его боковой грани. Из равенства всех граней пирамиды следует, что AD=AC=b и высота DP равнобедренного треугольника ADC, опущенная на боковую сторону AC, равна высоте DH равнобедренного треугольника BCD, опущенной на боковую сторону BC, Но это невозможно, поскольку DH — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP — наклонная к этой плоскости, проведенная из той же точки. Таким образом, DH — высота равнобедренного треугольника BDC, проведенная к основанию.

Так как высота боковой грани совпадает с высотой всей пирамиды, то плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания ABC. Введем обозначения: CD = BD = a, BC = b, DH = h (H — середина стороны BC, так как DH высота и медиана в р/б треугольнике DBC). Так как все грани являются равными треугольниками, то получаем, что AB = AC = a, AD = b, AH = h. Далее, докажем, что наибольшими противоположными ребрами пирамиды являются ребра AD и BC, выразив их через h. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора получаем: AD в степени 2 = AH в степени 2 плюс DH в степени 2 \Rightarrowb в степени 2 = 2h в степени 2 \Rightarrowb = h корень из { 2}.

Из треугольника DCH по теореме Пифагора получим:

DC в степени 2 = CH в степени 2 плюс DH в степени 2 \Rightarrow

a в степени 2 = дробь, числитель — b в степени 2 , знаменатель — 4 плюс h в степени 2 = дробь, числитель — 2h в степени 2 , знаменатель — 4 плюс h в степени 2 = дробь, числитель — 3h в степени 2 , знаменатель — 2 \Rightarrowa = h корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }.

Отсюда видно, что b больше a ( корень из { 2} больше корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }), то есть ребро b является наибольшим. Значит, расстояние 1, заданное по условию, — это расстояние между ребрами AD и BC. Так как плоскость (ADH) перпендикулярна прямой BC (DH\perp BC,AH\perp BC), то расстоянием между AD и BC является перпендикуляр, опущенный из точки H на прямую AD в плоскости (ADH). Тогда соединяем H с серединой стороны AD — отрезок HK является медианой в равнобедренном треугольнике ADH, а следовательно, и высотой.

По теореме Пифагора из треугольника KDH получим:

DH в степени 2 = KD в степени 2 плюс KH в степени 2 \Rightarrowh в степени 2 = дробь, числитель — b в степени 2 , знаменатель — 4 плюс 1\Rightarrowh в степени 2 минус дробь, числитель — h в степени 2 , знаменатель — 2 = 1\Rightarrow дробь, числитель — h в степени 2 , знаменатель — 2 = 1\Rightarrow h = корень из { 2}.

Осталось найти объем пирамиды:

V = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на S_{ABC} умножить на DH = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на bh умножить на h = дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на h в степени 3 корень из { 2} = дробь, числитель — 2 корень из { 2} умножить на корень из { 2}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 .

 

Ответ:V = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Построения в пространстве, Треугольная пирамида