Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505641

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.

Спрятать решение

Решение.

Пусть высота DH пирамиды ABCD с вершиной D является высотой боковой грани BDC. Предположим, что она проведена к боковой стороне. Пусть BC=BD=b, CD=a. Заметим, что a не равно b, так как в противном случае ABCD, но высота правильного тетраэдра не совпадает с высотой его боковой грани. Из равенства всех граней пирамиды следует, что AD=AC=b и высота DP равнобедренного треугольника ADC, опущенная на боковую сторону AC, равна высоте DH равнобедренного треугольника BCD, опущенной на боковую сторону BC, Но это невозможно, поскольку DH — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP — наклонная к этой плоскости, проведенная из той же точки. Таким образом, DH — высота равнобедренного треугольника BDC, проведенная к основанию.

Так как высота боковой грани совпадает с высотой всей пирамиды, то плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания ABC. Введем обозначения: CD = BD = a, BC = b, DH = h (H — середина стороны BC, так как DH высота и медиана в р/б треугольнике DBC). Так как все грани являются равными треугольниками, то получаем, что AB = AC = a, AD = b, AH = h. Далее, докажем, что наибольшими противоположными ребрами пирамиды являются ребра AD и BC, выразив их через h. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора получаем: AD в квадрате = AH в квадрате плюс DH в квадрате \Rightarrowb в квадрате = 2h в квадрате \Rightarrowb = h корень из 2.

Из треугольника DCH по теореме Пифагора получим:

DC в квадрате = CH в квадрате плюс DH в квадрате \Rightarrow

a в квадрате = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс h в квадрате = дробь: числитель: 2h в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс h в квадрате = дробь: числитель: 3h в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrowa = h корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Отсюда видно, что b больше a левая круглая скобка корень из 2 больше корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , то есть ребро b является наибольшим. Значит, расстояние 1, заданное по условию, — это расстояние между ребрами AD и BC. Так как плоскость (ADH) перпендикулярна прямой BC (DH\perp BC,AH\perp BC), то расстоянием между AD и BC является перпендикуляр, опущенный из точки H на прямую AD в плоскости (ADH). Тогда соединяем H с серединой стороны AD — отрезок HK является медианой в равнобедренном треугольнике ADH, а следовательно, и высотой.

По теореме Пифагора из треугольника KDH получим:

DH в квадрате = KD в квадрате плюс KH в квадрате \Rightarrowh в квадрате = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс 1\Rightarrowh в квадрате минус дробь: числитель: h в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = 1\Rightarrow дробь: числитель: h в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = 1\Rightarrow h = корень из 2.

Осталось найти объем пирамиды:

V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_ABC умножить на DH = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на bh умножить на h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на h в кубе корень из 2 = дробь: числитель: 2 корень из 2 умножить на корень из 2, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:V = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48.