Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505731
i

Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та . Точки M и N  — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим О центр тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда SO  — вы­со­та за­дан­ной пи­ра­ми­ды, E  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC, К  — точка пе­ре­се­че­ния MN и AE.

Ясно, что:

S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . V левая круг­лая скоб­ка SABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AO= дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

V левая круг­лая скоб­ка SAMN пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби V левая круг­лая скоб­ка SABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . CN=AE= дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

NO=OE= дробь: чис­ли­тель: CN, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .SN=SM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс NO в квад­ра­те =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .AN=AM=MN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

AO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AE= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .AK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AE=
= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .OK=AO минус AK=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

SK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс OK в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пусть S  — пол­ная по­верх­ность пи­ра­ми­ды SAMN, r  — ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в эту пи­ра­ми­ду. Тогда r= дробь: чис­ли­тель: 3V левая круг­лая скоб­ка SAMN пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S конец дроби .

S левая круг­лая скоб­ка AMN пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .S левая круг­лая скоб­ка MSN пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MN умно­жить на SK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

S левая круг­лая скоб­ка SAM пра­вая круг­лая скоб­ка =S левая круг­лая скоб­ка SAN пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AN умно­жить на SN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

S= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .r=
= дробь: чис­ли­тель: 3V левая круг­лая скоб­ка SAMN пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 63
Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025