Най­ди­те все корни урав­не­ния sin(2^x) = 1, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ству

Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В рав­но­бо­кой опи­сан­ной тра­пе­ции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD  — ос­но­ва­ния, про­ве­де­ны: 1) бис­сек­три­са угла B; 2) вы­со­та из вер­ши­ны С; 3) пря­мая, па­рал­лель­ная AB и про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну от­рез­ка CD.

а)  До­ка­жи­те, что все они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что BC  =  8, AD  =  18.

Два че­ло­ве­ка, у ко­то­рых име­ет­ся один ве­ло­си­пед, долж­ны по­пасть из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 40 км. Пер­вый дви­жет­ся пеш­ком со ско­ро­стью 4 км/ч, а на ве­ло­си­пе­де  — со ско­ро­стью 30 км/ч. Вто­рой дви­жет­ся пеш­ком со ско­ро­стью 6 км/ч, а на ве­ло­си­пе­де  — со ско­ро­стью 20 км/ч. За какое наи­мень­шее время они могут до­брать­ся из А в В?

Ве­ло­си­пед можно остав­лять на до­ро­ге без при­смот­ра.

Па­ра­бо­ла p₂ сим­мет­рич­на па­ра­бо­ле p₁, за­дан­ной урав­не­ни­ем y = ax² (a > 0), от­но­си­тель­но точки T(b; ab²), b > 0. Не­ко­то­рая пря­мая пе­ре­се­ка­ет каж­дую па­ра­бо­лу ровно в одной точке: p₁  — в точке A₁, p₂  — в точке A₂ так, что угол A₁A₂T пря­мой. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле p₁, про­ве­ден­ная в точке T, пе­ре­се­ка­ет пря­мую A₁A₂ в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром точка K делит от­ре­зок A₁A₂.

Ре­ши­те урав­не­ние:

а)  [2x] = {7x};

б)  [2x] = 7x;

в)  2x = {7x}.

[a]  — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a}  — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].