Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505743

В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся рёбер равны 12 и 4, а остальные рёбра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

Спрятать решение

Решение.

Пусть AC=4,BD=12, A_1,B_1 — середины этих ребер соответственно. Тогда центр вписанной сферы лежит в бисектральной плоскости, проходящей через ребро BD, то есть в BDA_1 (она перпендикудярна AC, поэтому тетраэдр симметричен относительно нее). Аналогично центр лежит и в ACB_1, то есть лежит на отрезке A_1B_1. Очевидно A_1B_1\perp AC,BD (поскольку лежит в плоскостях, перпендикулярных этим отрезкам). Тогда

A_1B_1= корень из AB в квадрате минус BB_1 в квадрате минус AA_1 в квадрате корень из 7 в квадрате минус 6 в квадрате минус 2 в квадрате =3.

Тогда

V_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на AC умножить на BD умножить на d левая круглая скобка AC,BD правая круглая скобка умножить на синус \angle левая круглая скобка AC,BD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 12 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 1=24.

Далее,

d левая круглая скобка B_1, ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка D,ABC правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3V_ABCD, знаменатель: S_ABC конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: 2 корень из 49 минус 4 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

Найдем радиус вписанной сферы. Он равен

 дробь: числитель: 3V_ABCD, знаменатель: S_ABC плюс S_ABD плюс S_ACD плюс S_BCD конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из 13 плюс корень из 5 конец дроби .

Итак, на отрезке A_1B_1 располагается точка на расстоянии  дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из 13 плюс корень из 5 конец дроби от плоскости ABC, при этом расстояния от точек A_1 и B_1 равны 0 и  дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из 5 конец дроби . Значит, она делит этот отрезок в отношении  корень из 5: корень из 13 и располагается на расстоянии  дробь: числитель: 3 корень из 13, знаменатель: корень из 13 плюс корень из 5 конец дроби от точки B_1. Это и есть ответ.

 

Ответ:  дробь: числитель: 3 корень из 13, знаменатель: корень из 13 плюс корень из 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65.