В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N проведена плоскость, параллельная медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.
Для построения искомого сечения проведем дополнительно апофему SD в боковой грани SBC, а затем отложим отрезок ME в треугольнике SAD параллельно стороне AD: так как ME || AD и M — середина AS, то E — середина SD. Тогда получаем, что MNE — искомая плоскость. Осталось показать, что продолжение NE падает в точку С, то есть точка E лежит на отрезке NС.
Для этого можно отдельно рассмотреть треугольник SBC и провести в нем дополнительный отрезок DL параллельно стороне NС. Тогда DL является средней линией для треугольника BNC, а значит, 
Применим теорему, обратную теореме Фалеса, для угла BSD. Из пропорциональности отрезков
заключаем, что 
поэтому 
Таким образом, получили, что MNB — искомое сечение тетраэдра, и оно отсекает от него треугольную пирамиду СMNS. Заметим, что если рассмотреть в качестве основания полученной пирамиды треугольник SMN, то высота, проведенная из точки C на плоскость SMN, совпадает с высотой пирамиды SABC. Из формулы для объема пирамиды получаем (считаем для удобства, что все ребра равны 1):
Ответ: 1 : 6.