Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро CC1 в такой точке М, что MC : MC1 = 1 : 2.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.
а) Пусть T — точка пересечения прямых 
и 
Поскольку перпендикулярна 
а 
треугольник 
— прямоугольный с углом 
поэтому
Пусть M — точка пересечения прямых BT и 
Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
откуда 
Отсюда следует утверждение задачи.
б) Поставим на ребре 
точку N так, чтобы 
Тогда по аналогичным причинам эта точка тоже лежит в сечении, а само сечение — пятиугольник 
Пусть 
Тогда объем всей призмы равен 
Вычислим теперь объем верхней ее части — 
Обозначим за K середину 
Отметим сразу, что перпендикуляр к плоскости сечения, проведенный из 
падает на BK (поскольку плоскость 
перпендикулярна плоскости сечения).
Поэтому объем нижней части равен 
и отношение объемов составит 
Ответ: б) 19 : 35.