Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514880

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки BD1F1 проведена плоскость α.

а) Докажите,  что  плоскость  α пересекает  ребро  CC1 в такой точке М, что MC : MC1 = 1 : 2.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.

Решение.

а) Пусть T — точка пересечения прямых F_1D_1 и B_1C_1. Поскольку F_1D_1 перпендикулярна C_1D_1, а \angle B_1C_1D_1=120 в степени \circ , треугольник C_1D_1T — прямоугольный с углом 30 в степени \circ , поэтому

B_1T=B_1C_1 плюс C_1T=B_1C_1 плюс 2C_1D_1=3B_1C_1.

Пусть M — точка пересечения прямых BT и CC_1. Тогда треугольники TC_1M и TB_1B подобны с коэффициентом TC_1:TB_1=2:3, откуда C_1M:C_1C=C_1M:B_1B=2:3. Отсюда следует утверждение задачи.

б) Поставим на ребре AA_1 точку N так, чтобы AN:NA_1=1:2. Тогда по аналогичным причинам эта точка тоже лежит в сечении, а само сечение — пятиугольник BMD_1F_1N.

Пусть AB=a, AA_1=h. Тогда объем всей призмы равен 6h умножить на дробь, числитель — a в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3 корень из { 3}, знаменатель — 2 ha в степени 2 . Вычислим теперь объем верхней ее части — V_{A_1C_1BMD_1F_1NB_1}. Обозначим за K середину F_1D_1. Отметим сразу, что перпендикуляр к плоскости сечения, проведенный из B_1, падает на BK (поскольку плоскость BB_1E_1E перпендикулярна плоскости сечения).

 

V_{A_1C_1BMD_1F_1NB_1}=V_{A_1NF_1B_1} плюс V_{C_1MD_1B_1} плюс V_{B_1BMD_1F_1N}=2V_{A_1NF_1B_1} плюс V_{B_1BMD_1F_1N}=

 

= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 d(B, NA_1F_1) умножить на S_{NA_1F_1} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(B_1, BMN) умножить на S_{BMD_1F_1N}=

 

= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 d(C, AA_1F_1) умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 a умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 h плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(B_1, BMN) умножить на 2S_{BMD_1K}=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 ah умножить на корень из { 3}a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(B_1, BK) умножить на (BK плюс D_1M)D_1K=

 

= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 9 a в степени 2 h плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 дробь, числитель — 2S_{BB_1K}, знаменатель — BK умножить на левая круглая скобка BK плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 BK правая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 F_1D_1= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 9 a в степени 2 h плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 BB_1 умножить на B_1K умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на корень из { 3}a=

 

= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 9 a в степени 2 h плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 h умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 a умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на корень из { 3}a= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 9 a в степени 2 h плюс дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 12 a в степени 2 h= дробь, числитель — 19 корень из { 3}, знаменатель — 36 a в степени 2 h.

 

Поэтому объем нижней части равен  дробь, числитель — 3 корень из { 3}, знаменатель — 2 ha в степени 2 минус дробь, числитель — 19 корень из { 3}, знаменатель — 36 a в степени 2 h= дробь, числитель — 35 корень из { 3}, знаменатель — 36 a в степени 2 h, и отношение объемов составит 19:35.

 

Ответ: б) 19 : 35.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная шестиугольная призма, Сечение, проходящее через три точки