Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся тра­пе­ция ABCD, у ко­то­рой AD||BC. На ребре SC вы­бра­на точка K так, что CK : KS  =  2 : 5. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, В и K, пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке L. Из­вест­но, что объ­е­мы пи­ра­мид SABKL и SABCD от­но­сят­ся, как 95 : 189.  

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции ABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти имеют общий центр О. На окруж­но­сти боль­ше­го ра­ди­у­са вы­бра­на точка F.

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от точки F до кон­цов диа­мет­ра мень­шей окруж­но­сти не за­ви­сит ни от вы­бо­ра точки F, ни от вы­бо­ра диа­мет­ра. 

б)  Из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 10 и 24. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся концы диа­мет­ра мень­шей окруж­но­сти и точка F, тан­генс угла F этого тре­уголь­ни­ка равен

Цех по­лу­чил заказ на из­го­тов­ле­ние 2000 де­та­лей типа А и 14000 де­та­лей типа Б. Каж­дый из 146 ра­бо­чих цеха за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние одной де­та­ли типа А время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить 2 де­та­ли типа Б. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих цеха на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но, и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа? 

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно один или два корня.

а)  На доске за­пи­са­ны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа и вме­сто них за­пи­сать их раз­ность  — не­от­ри­ца­тель­ное число. Может ли на доске в ре­зуль­та­те не­сколь­ких таких опе­ра­ций остать­ся толь­ко число 15?

б)  Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком‐либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна  12 – 9 = 3. Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

в)  Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны?