Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Заданное уравнение приведем к виду 
Рассмотрим функцию 
Найдем область ее определения.
Разложим на множители многочлен 
Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями 
могут быть только числа: 
Заметим, что числа 
таковыми не являются. При 
Значит, число 7 является корнем многочлена 
Делением "уголком" на 
получим 
Вычислим корни квадратного трехчлена
Заметим, что:
поскольку 
(неравенство верно).
так как 
(неравенство очевидное).
Итак, 
Найдем нули функции 
Для этого решим систему:
Поскольку 
это показано выше; 
то и разность
(
Делением «уголком» получим, что 
Далее:
Таким образом, число 
делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции 
и 
Найдем эти знаки.
Заметим , что 
Действительно, 
Итак, на 
Очевидно, что 
На 
Если 
то уравнение будет иметь два корня: 
и 
То есть решение не единственное. Значит, значения 
и 
— не подходят.
Если 
то уравнение 
вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.
Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия 
т. е. при 
Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции 
на 
Имеем: 
Значит, 
Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция на отрезке 
каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.
Рассмотрим функцию 
на отрезке [0;1]
Найдем ее производную. 
Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.
Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).
Действительно, 
Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.
следовательно, функция 
на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.
Рассмотрим функцию 
на том же отрезке [0;1].
Эта функция имеет единственную критическую точку 
По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку 
Заметим главное: скорость возрастания функции 
очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции 
поскольку значения функции и 
уже в точке станут равными. И отсюда следует, что функция
монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция 
будучи разностью двух функций: (уменьшаемая) и (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность 
на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при 
Коли монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на 
На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 
относительно а.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Тогда задача будет переформулирована так: найти все значения а, при которых уравнение 
Коли это так, то заменим его более простым уравнением
и 
где 
— множество разрешенных значений t в уравнении (2). 
. 
то будет выполнено равенство 
Тогда уравнение (1) обратится в равенство 
отличное от 
и не является решением уравнения (2), то оно также не будет являться решением уравнения (1).
либо при 
Тогда 
аналогично, если 
то 
Значит, число 
при 
корнем уравнения (1) не является. 
имеет хотя бы одно решение на промежутке 
А наибольшее его значение равно нулю. Параметр принимает все значения из промежутка 
где 
и 
вообще говоря, не обязаны быть равносильными.
на уравнение 
и 
являются корнями уравнения 
тогда как эти числа корнями уравнения 
не являются. А этого достаточно для того чтоб считать названные два уравнения неравносильными.
уравнение примет вид: 
(неравенство очевидное). Следовательно, среди искомых значений а числа 0 нет. 
и 
Вычислим четверть дискриминанта квадратного трехчлена:
при других же значениях x, т. е. при 
выполнялось хотя бы при одном значении x. Таким значением будет число 2. И оно единственное. Искомое значение а будет обнаружено, если решить уравнение 
относительно а:
Уравнение примет вид 
число корней при этом не изменится. Сразу заметим, что при 
есть корни 
и 
поэтому 
при положительных t и 
при отрицательных t.
то у первого уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них положительный. При этом у второго уравнения дискриминант 
корни есть, их сумма 
произведение 
значит, они оба положительны, и нам не подходят. Итак, есть ровно один корень.
то у второго уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них отрицательный. При этом у первого уравнения дискриминант 
Если у него есть корни, их сумма 2a, произведение 
значит, они одного знака — того же, что и число a. Поэтому все 
нам подходят (если даже есть корни, то они отрицательны), а из 
подходят лишь те, для которых 
то есть 
Тогда 
или 
(
), или одновременное выполнение трех условий : 
Для нахождения интересующих нас значений a, удовлетворяющих этим трем условиям, решим систему неравенств:
то уравнение принимает вид 
и имеет один корень.
— два луча с общим началом в точке 
и угловыми коэффициентами 
и угловыми коэффициентами 
) и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой 
имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через 
либо через 
Осталось выяснить, при каких a это происходит.
откуда 
(подходит)
откуда 
(подходит).
откуда 
Таким образом, при 
Тогда 
Подставив полученное значение x в заданное уравнение, получим новое уравнение:
при 
каждому значению t соответствует единственное значение x, то задачу можно переформулировать так: 
при каждом из которых уравнение
то 
В таком случае уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(1)
т. е. 
для любого а, отличного от 1 . А это значит, что при любом значении 
уравнение (1) имеет два различных действительных корня. Обнаружить эти корни легко по теореме Виета. Ими будут: 1 и 
также будет удовлетворять условию 
т. е. неравенству 
поскольку свободный член уравнения (1) при тех же значениях a непременно должен быть неотрицательным. 
уравнение (1) будет иметь два различных действительных корня.
корень 
отрицательный, то уравнение (1) при 
удовлетворяющее неравенству
уравнение (1) уже имеет два различных действительных корня, то дальнейшее исследование уравнения (*) для значений 
становится излишним.
то 
Тогда уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(2)
является осью симметрии квадратичной функции 
Следовательно, при 
функция 
будет возрастающей. Поскольку 
то дискриминант уравнения (2) при 
У последнего уравнения действительных корней нет.
для этих значений одинаковы. Исследуем для начала, при каких значениях a функция 
поэтому она имеет максимум при 
(значение 9) и минимум при 
(значение 
).
по три раза, а сами 
по два раза. 
или 
имеем 
при прочих x имеем 
очевидно, принимает все положительные значения.
то есть 
неотрицательны при любых допустимых значениях х и а, то их сумма равна нулю только и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: 
и 
А это значит, что 
будем иметь:
имеет единственное решение.
получаем:
является посторонним корнем.
Тогда:
число 
является единственным корнем исходного уравнения.
Для того, чтобы система имела ровно одно решение большее 2, парабола, являющаяся графиком функции f должна либо:
откуда 
то есть 
получим 
то есть 
При этом значении параметра уравнение 
второй его корень равен 1, а потому условие (⁎⁎) выполнено;
должен быть равен нулю, а абсцисса вершины параболы должна быть не меньше двух. Получаем для четверти дискриминанта 
откуда 
Для обоих найденных значений параметра вершина параболы 
что не подходит.
уравнение (*) примет вид: 0 = 6. Следовательно, при 
и при 
то с учетом найденных ограничений получаем 
).
отрицательный, но равный или меньший 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие:
и 
получим: 
Действительно, если 
то 
тогда как 
Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства 
на 
Получим: 
Это равенство имеет место при 
есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= 
возможно лишь при единственном значении m, т. е. при 
Коли это так, то равенство (***) примет вид: 
что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
и 
при которых условие 
выполняется как при 
так и при 
то 
Полученным значениям а будут соответствовать значения 
и 
в соответствии с равенством 
к равенству 
(не обязательно равносильный). При подстановке пары (2; 1) в систему 
получим верные равенства: 
Такие же получим результаты, если проверим пару (-2; -1).
ровно три корня.
и получим квадратное относительно t уравнение 
На искомом интервале уравнение вида 
имеет либо 2 решения при 
либо одно при y=1 или -1, либо 3 решения при y=0. Таким образом, чтобы исходное уравнение имело 3 решения на данном отрезке, необходимо, чтобы одним из корней квадратного уравнения было число 1, 0 или -1. Заметим, что в случае 1 и -1, нам еще нужен второй корень из множества 
а в случае 0, нужно, чтобы других корней из множества 
у квадратного уравнения не было. Подставляя 0, 1 и -1 в квадратное уравнение, получим совокупность
Для каждого из трёх значений проверяем второй корень уравнения (если он есть) и получаем, что условиям задачи удовлетворяют только два значения: 
После проверки (с помощью теоремы Виета найдём второй корень) остаётся только одно значение 
и должен находиться в интервале (-1;1). Но в этом случае левая часть второго уравнения совокупности положительна при 
значит, решать второе уравнение не имеет смысла.
следовательно, 
следовательно, 
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
то заданное уравнение примет вид: 
что имеет два корня: −1 и 1, а это не удовлетворяет условию задачи.
Тогда заданное уравнение имеет вид:
Следовательно, 
или 
Обозначая 
получим
на нашем промежутке возрастает, t принимает все значения в промежутке 
Это дает следующее число корней:
нет корней
Обозначая 
Это дает следующее число корней:
два корня
имеет на указанном промежутке 2 корня при 
1 корень при 
не имеет корней при прочих b.
имеет два корня, а уравнение 
корней не имеет.
Чтобы второе уравнение не имело корней, a не должно попасть в промежуток 
корней не имеет, а уравнение 
Но при таких a уравнение 
и каждое уравнение превращается в 
которое имеет на указанном промежутке два корня
Для этого построим гиперболу 
и отразим часть графика лежащую ниже оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим, что
и 
является прямой угол с направленными вниз сторонами и вершиной в точке 
касается правой ветви гиперболы (см. правый рисунок).
не подходит, та как это случай касания прямой 
и левой ветви гиперболы 
а значение 
симметричен относительно прямой y = x. Тогда если x0 является корнем уравнения, то 
также является корнем уравнения, поскольку 
откуда 
(тогда a = 2) или 
(тогда 
). Необходимо проверить найденные значения параметра.
получим, что оно имеет ровно 3 решения: 
Решив уравнение 
получим, что оно имеет одно решение: 
Следовательно, подходит значение a = 2.
на промежутках 
Знаменатель на 
положителен. Следовательно, 
для любого 
А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго убывающая.
Тогда:
при 
А это значит, что при 
функция y убывает, при 
она возрастает. Точка 
есть точка минимума.
— минимум функции.
Тогда:
Значит, 
на 
Тогда:
при 
А это значит, что при 
функция убывает, при 
она возрастает. Точка 
Таким образом, 2 — второй минимум функции.
нетрудно заметить, есть 
постоянная. 
корней не имеет;
имеет ровно два корня;
имеет ровно четыре корня.
И это решение всегда x = 3.
то 
то 
поэтому f(x) возрастает до 
и убывает после него, при этом 
то 
то 
всюду кроме отрезка 
То есть при больших по модулю x ее график — парабола ветвями вверх.
четыре решения
три решения
два решения
и 
то оба логарифма неположительны. С другой стороны, 
и 
неотрицательны. Поэтому все выражение неположительно и может быть равно нулю только если в каждом произведении есть нулевой множитель. Это дает два варианта.
Тогда можно взять x = 1.
то есть x = 0. Но такое x не входит в ОДЗ.
имеет ровно два решения.
Поэтому вопрос задачи сводится к такому — при каких a уравнение 
имеет единственный корень? Исследуем функцию 
получим 
Эта функция убывает на всем данном промежутке и принимает на нем значения от 1 до 
То есть из промежутка 
получим 
Итак, на всем этом промежутке функция принимает значение −1, естественно, бесконечно много раз.
получим 
Итак, на всем этом промежутке функция принимает значение 1, естественно бесконечно много раз.
бесконечно много раз принимает значения
и не принимает других значений.
не имеет решений.
или 
причем при 
значения функции неограниченно возрастают (при положительных x это очевидно, при отрицательных функция упрощается до 
что тоже велико при сильно отрицтельных x). Поэтому если она не принимает какого-то значения (а именно значения a), то ее значения всегда либо больше него, либо меньше (второе невозможно).
являются числа 
Они не могут отличаться друг от друга на 
от чисел вида 
косинусы которых равны 
поэтому такие числа будут корнями исходного уравнения при 
отличаются на 
то есть при 
имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.
— тоже.
0, d, 2d, причем 
Тогда имеем
имеет корни, принадлежащие промежутку 
откуда 
Также 
откуда 
Нетрудно видеть, что при таких x и a уравнение выполняется.
имеет не менее двух решений.
и 
Сделав в нем замену 
мы получим квадратное уравнение 
причем каждый его корень на промежутке 
даст две бесконечных серии решений, а каждый корень, равный 
— одну серию.
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
дают решения 
и это действительно арифметическая прогрессия.
то есть 
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
и 
или 
то уравнение 
не имеет корней, поэтому все корни исходного уравнения это 
Это действительно арифметическая прогрессия.
то 
и новых корней уравнение 
то уравнение 
Поэтому разность прогрессии должна составлять 
Значит, 
поэтому 
В этом случае все корни исходного уравнения 
Это действительно арифметическая прогрессия.
нет, при этом есть один корень на интервале 
поэтому разность прогрессии должна быть 
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны 
и 
Тогда 
откуда 
или 
Уравнение 
корней не имеет, поэтому такое a подходит.
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны 
и 
должна быть равна 0, и мы получаем уже разобранный случай (корни там совсем не такие, но это уже неважно) 
имеет решения?
на промежутке 
(вне этого промежутка функция либо не определена, либо дает те же значения). Ее производная 
обнуляется при 
и больше нигде, поэтому наибольшее и наименьшее значение эта функция принимает при x = 0, 
Поскольку функция непрерывна, то ее множество значений будет 
Очевидно, если x было корнем уравнения, то и 
будет его корнем.
то есть 
и выполняется при 
имеет единственный корень.
Тогда 
При 
значение будет 
при 
значение будет 
поэтому на отрезке 
есть еще корень.
Тогда 
Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при 
имеет ровно два корня на отрезке 
одно решение, если 
и не имеет решений во всех остальных случаях.
одно решение, если 
и не имеет решений во всех остальных случаях.
Решая совокупность и уравнение, получаем ответ.
имеет корни.
были корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Заметим еще сразу, что 
иначе 
не определен.
то первая скобка положительна, значит, и вторая должна быть неотрицательна, то есть 
?
на указанном отрезке принимает все значения из 
по два раза, а значение 1 — один раз.
если же 
то второй множитель не добавит корней). То есть 
Левая часть неположительна, правая неотрицательна, поэтому они могут совпадать только при b = 0.
Очевидно, a = 0 подходит.
то обе части неположительны, при этом наименьшее значение правой части 
а левой −1, откуда a = 1. Оно подходит.
то одна часть неположительна, а другая неотрицательна, при этом не всегда равны нулю. Это невозможно.
имеет не более одного корня на этом промежутке, а уравнение 
имеет конечное число корней на любом конечном отрезке (между любыми двумя корнями функции 
лежит корень ее производной 
а между любыми двумя ее корнями лежит корень ее производной 
которых уж точно конечное число на любом отрезке). Кроме того, 
для всех корней уравнения, что может давать дополнительные ограничения на отрезок, где мы ищем решения.
Тогда уравнение 
имеет единственный корень 
который лежит на нужном промежутке.
Тогда уравнение 
на всем промежутке. Поэтому надо иссследовать только корни уравнения 
Очевидно, если x корень данного уравнения, то 
поскольку при 
имеем 
Значит, все его корни на промежутке 
обычно разбиваются на пары и поэтому их четное число. Единственное исключение — если один из этих корней равен нулю, тогда 
Тогда работает логика предыдущего случая за исключением того, что появляется дополнительный корень без пары 
поэтому корней также нечетное количество.
Тогда уравнение 
уравнение 
Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение 
Докажем, что этих корней нет.
При 
имеем 
поэтому 
При 
имеем 
поэтому 
Тогда уравнение 
Тогда уравнение 
уравнение 
Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение 
Докажем, что этих корней нет.
имеем 
поэтому 
При 
имеем 
поэтому 
(независимо от x). Поэтому 
что невозможно — 
причем равенство одновременно не достигается.
имеет хотя бы одно решение.
то можно выбрать 
и уравнение не будет иметь корней:
то при любом b можно выбрать 
Такое a подходит.
то можно выбрать 
и уравнение не будет иметь корней:
не определено при 
поэтому такие значения x не могут являться корнями уравнения.
то 
поэтому корни этого уравнения можно сразу добавить в ответ. При прочих x исходное уравнение можно переписать уравнение в виде
поэтому вопрос свелся к поиску решений неравенства
попали в эти промежутки.
всегда является корнем этого уравнения, а другие целые числа его корнями не являются. Поэтому можно поделить уравнение на 
У полученного уравнения должно не быть корней. Обозначим 
Заметим, что на промежутке 
эта функция непрерывна, причем 
при 
и 
при 
Поэтому t принимает все вещественные значения.
не должно иметь корней. То есть 
и перепишем уравнение в виде
Поделим тогда обе части уравнения на 
Получим
получаем
переменная t принимает все значения из промежутка 
причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке 
имеет это квадратное уравнение.
Поделим тогда обе части уравнения на 
получаем
переменная t принимает все значения из промежутка (−1; 0], причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке (−1; 0] имеет это квадратное уравнение.
имеет ровно один корень на множестве 
Это невозможно при неотрицательных a.
и это нам подходит.
то 
поэтому 
и 
нам подходит.
то 
поэтому 
нам не подходит.
то 
поэтому 
и 
и 
при некотором целом k.
должно иметь ровно два корня.
должно иметь ровно один положительный корень.
откуда 
и 
Корень 
При целом k это возможно лишь при 
то есть при 
Уравнение 
действительно имеет ровно один положительный корень.
что невозможно при целом k.
ему тоже удовлетворяет. Будем в дальнейшем считать, что 
При 
и уравнение получается 
у него действительно три корня.
и 
Один из них должен быть положителен, а другой нулем. Первый больше, значит, он положителен. 
должна быть справедлива оценка 
для каждого 
так как 
Введем новую переменную: пусть 
Тогда 
Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех 
положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции 
направлены вверх.
Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Положим 
число 
— абсцисса вершины параболы.
откуда получаем:
Тогда:
Находим:
только при 
Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию 
то искомым множеством значений а будет множество 
имеет 4 действительных корня.
тогда 
Исходя из контекста задачи потребуем, чтобы это уравнение относительно t имело два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант квадратного трехчлена будет положительным: 
Очевидно, последнее неравенство истинно при всех значениях h,отличных от нуля.
т. е. 
или 
т. е.
на 
больше, чем квадрат разности корней уравнения 
Найдем его больший корень: 
так как 
Следовательно, 
Таким образом, 
и 
Выразим квадрат разности этих корней так, чтобы в дальнейшем было удобно использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения:
Эта разность по условию задачи равна 
то есть 
Решим уравнение 
относительно а:
имеет корни (теорема Виета это не гарантирует). Найдем дискриминант:
или 
Ясно, что 
следовательно, 
Имеем два алгебраических уравнения:
Найдем ее четверть дискриминанта. 
окажется равной нулю. 
окажется не меньше 1, а другой — строго меньше 1. Последнее будет иметь место, если будет выполнено условие 
Однако, 
Решим неравенство:
То, что 
было показано выше. Следовательно, осталось решить систему 
Тогда заданное уравнение примет вид:
будет выполнено неравенство 
и так как 
то и 
либо 
либо 
то 
Это значит, что 
на количество действительных корней.
будет различным. 
что имеет место при 
то уравнение 
которые имеет ровно два различных корня.
т. е. при 
исходное уравнение также имеет два различных корня.
то 
уравнение 
решений иметь не будет, тогда как уравнение 
будет иметь ровно два действительных корня. 
исходное уравнение имеет два различных действительных корня.
и первое уравнение, и второе уравнение совокупности (дизъюнкции двух предикатов) будет иметь ровно по 2 различных действительных корня. 
исходное уравнение имеет более двух действительных корней.
являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Тогда уравнение примет вид: 
или 
и 
: 
— больший корень уравнения (*). И пусть 
Тогда корнями заданного уравнения будут: 
Очевидно, в арифметической прогрессии они должны идти в последовательности либо в последовательности: 
(в случае возрастающей прогрессии), либо 
(в случае убывающей). Выберем случай возрастающей арифметической прогрессии. В таком случае согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии должно выполняться условие: 
или 
Такое же равенство получим, если проверим условие 
То есть 
то 
При этом 
имеет ровно один корень. Укажите этот корень для каждого такого значения а.
тогда 
Будем иметь: 
то 
что невозможно, решений нет. Если же 
то 
тогда 
Далее: 
то 
что также невозможно, решений нет. Если 
то 
Решим неравенство 
корней не имеет, при 
будет иметь ровно один корень, равный 
при 
— более одного корня. 
Одним подходящим значением в любом случае будет 
то 
при всех целых ненулевых k. То есть 
То есть 
— иррациональное число.
имеет решение, причём любой его корень находится в промежутке [1;2].
и рассмотрим функцию 
При каждом допустимом значении параметра функция f непрерывна на всей области определения, причём для любых 
функция f является убывающей, а для любых 
— возрастающей. Поэтому для каждого допустимого значения параметра уравнение имеет не более одного решения. Из непрерывности функции следует, что корень уравнения находится в промежутке [1; 2] тогда и только тогда, когда 
Применяя теорему о знаках, имеем: 
или 
обозначим 
и потребуем, чтобы уравнение 
имело ровно три корня.
Это четная функция. Ее производная при 
будет 
при 
Значит, функция убывает на 
а по непрерывности можно даже написать, что она убывает на 
при 
ровно по одному разу.
получаем как раз уравнение 
которое имеет единственный корень 
имеет два корня (отличающихся знаком) при 
и не имеет корней при прочих b. Отсюда при
или 
корней у уравнения нет вовсе.
Тогда нужно чтобы 
У этого уравнения единственный корень.
Нас интересует число корней уравнения 
Выясним для этого, как устроена функция 
Возьмем ее производную 
Значит, 
при 
при 
Поэтому функция ведет себя так — принимает все вещественные значения по одному разу на промежутке 
принимает дважды все положительные значения большие 
на промежутке 
принимает один раз значение 
и не принимает других значений на этом промежутке.
Тогда уравнение 
имеет ровно один корень, значит, уравнение 
должно иметь ровно два корня. Один из них точно будет на промежутке 
В этом случае корней получается ровно три, а в других случаях не получается.
и 
* равен нулю и при этом 
Однако, это уравнение решений не имеет, значит, 0 не относится к числу искомых значений параметра. 
удовлетворяют все значения а, за исключением 0 и 3. То есть уравнение (*) имеет два различных действительных корня при всех значениях а, отличных 0 и 3. Но нас интересует такое значение а, при котором один из корней упомянутого уравнения равен — a. Обозначим его x1. Другой же корень пусть будет x2, причем x1 ≠ x2. Тогда в соответствии с теоремой Виета: 
имеет ровно три корня.
Правая часть этого уравнения имеет вид 
что на координатной плоскости xOy задает пучок прямых. Действительно, 
Парабола, у которой ветви направлены вверх, проходит через точки: (3; 0), (−1; 0), а ее вершиной будет точка (1; −4). Зеркальным отражением относительно оси абсцисс части графика с отрицательными ординатами получим график функции 
(см. рис.).
проходящая через точку (−6; 4), пересечет график функции 
в точке (3; 0), т. е. если координаты точки (3; 0) будут удовлетворять уравнению 
и 0. 
имеет ровно один корень.
также является корнем этого же уравнения. Чтобы уравнение имело ровно один корень необходимо выполнение условия: 
А это выполнимо лишь при одном условии: 
Аналогично 
Отсюда ясно, что графики функций f(x) и g(x) имеют одну единственную общую точку (0; 0). (См. также рис. 1).
и 
Графики этих двух функций, кроме общей точки (0; 0), имеют по меньшей мере еще одну общую точку, а именно, точку (2; −2). Докажем это. 
(Cм. также рис. 2)
имеет ровно два различных действительных корня.
Функция непрерывная, монотонно возрастающая как сумма двух возрастающих функций. Мы имеем: 
следовательно, должно выполняться условие: 
Отсюда: 
и 
и на отрезке 
Функция f всюду определена, непрерывна и убывает на всей области определения как сумма убывающих функций, в том числе и на промежутке 
Следовательно, принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке 
на концах отрезка: 
откуда 
Потому эта функция определена на отрезке 
непрерывна и возрастает на нем, принимая свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка:
имеет не больше одного корня. Этот корень лежит на отрезке 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
одновременно, получаем 
— точка 
Поскольку вершина 
параболы 
симметрична вершине параболы 
не совпадающей с их общей касательной и пересекающей каждую из заданных парабол в ровно в одной точке. Отсюда ясно, что эта прямая обязана быть параллельной оси ординат. 
равен 
только в том случае, если ординаты точек Т и 
совпадут. Следовательно, 
А это значит, что осью симметрии параболы 
Абсциссой точки 
будет 
Так как абсциссы точек 
и 
где 
Найдем точку пересечения TK с прямой 
А это значит, что 
Построим их графики в одной и той же прямоугольной системе координат.
есть пучок прямых, проходящих через начало координат с угловым коэффициентом, равным а.
(параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты). Исходное уравнение также будет иметь ровно один корень, если прямая 
Найдем значение а, которое обеспечит это условие. 
имеет ровно три корня.
и имеет один корень.
— два луча с общим началом в точке 
и угловыми коэффициентами 
и угловыми коэффициентами 
и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой 
либо через 
Осталось выяснить, при каких a это происходит.
откуда 
откуда 
имеет ровно 132 различных корня.
ровно 66 раз, что возможно при 
(в этом множестве всего 66 элементов).
т. е. 
или 
имеет ровно два различных корня.
при этом имеет любое значение, принадлежащее R, то заданное уравнение обращается в истинное высказывание. 
имеет ровно один положительный корень, отличный от 1. 
Эти корни уже заведомо противоположны по знаку, за исключением одного случая — когда они оба равны нулю. Однако, решения исходного уравнения не могу быть равными нулю. Отсюда: значение а, при котором, 
т. е. 
не подойдет.
ни 
не могут равняться 1. А это значит, что 
и 
Других ограничений на значения а не будет.
поскольку a>0. Поэтому если корни есть, то они положительны, то есть удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, осталось проверить факт наличия корней у этого уравнения, то есть решить неравенство D ≥ 0:
в зависимости от b.
то корень только 
Это положительно при 
равно нулю на концах этого промежутка и отрицательно при прочих b.
Тогда одно из уравнений имеет единственный корень 
а второе не имеет корней при 
имеет два корня при 
так как 
Это дает варианты 
и 
которые не подходят (для них одно из чисел 
дает один корень, а второе ни одного), и варианты 
и 
которые подходят (для них одно из чисел 
содержит отрезок [1; 2].
Получим такую задачу: 
принимает все значения от 1 до 2 на отрезке 
или 
принимающую все нужные значения при 
получаем функцию 
не принимающую значения 1 при 
Поэтому такой случай нас не устраивает.
равносильно уравнению 
то есть 
Поэтому необходимо и достаточно, чтобы при всех 
функция 
принимала значение 
на отрезке 
(вершина параболы, лежит на 
Итак, требуется, чтобы 
и 
при любом c из 
при любом c из 
на этом отрезке, нужно только чтобы 
тогда 
после чего исследуем функцию 
на возрастание и убывание.
имеем 
Итак, на этом промежутке функция принимает все неотрицательные значения по одному разу.
имеем 
и 
при этом 
прямая x = 9 является вертикальной асимптотой графика. Итак, на этом промежутке функция принимает все значения по одному разу.
имеем 
и возрастает на промежутке 
при этом 
Итак, на этом промежутке функция принимает все значения из промежутка 
по два раза, а значения 0 и -4 — по одному разу.
имеем 
функция принимает каждое свое значение ровно два раза. Значит, на этом промежутке она должна принимать такое значение один раз.
Тогда 
и 
Итак, 
возможно. Для этого следует взять 
и 
тогда во всех неравенствах получается равенство.
На количество решений это не повлияет: 
Перенося и возводя в квадрат, получим
откуда 
но единственный корень отрицателен;
и t на 
получим такое же уравнение с отрицательным 
и 
за t. Очевидно, 
причем при 
есть единственное подходящее x, а при 
есть два подходящих x.
то 
Тогда 
и можно найти ровно два подходящих значения x. Такое a подходит.
и 
совпадать не могут. Поэтому нужно, чтобы одно из чисел a и 
лежало в промежутке 
а другое лежало вне промежутка 
Подходят
нас все равно не интересует, можно переписать уравнение в виде
на указанном отрезке. Возьмем ее производную.
и 
и убывает на 
Тогда полученное уравнени должно будет иметь единственный положительный корень.
никогда не является корнем этого уравнения, поэтому умножение на 
было равносильным преобразованием.
что удовлетворяет условию.
Поскольку этот единственный корень равен 
то он, очевидно, положителен при 
и отрицателен при 
то один из корней отрицателен, а второй равен нулю. Это не подходит.
то есть 
то 
поэтому корни в самом деле есть, и ровно один из них положительный, что и требуется.
соответствуют три значения x на указанном промежутке, каждому значению t, 
или 
При этих условиях уравнение равносильно 
то вторая скобка не даст новых корней, если же нет, то она не даст корней, равных корням первой скобки. Значит, она должна дать ровно два корня, поэтому 
и 
), левая часть уравнения положительна, также положительно значение выражения 
Поэтому при 
решений нет.
:
тогда с учётом ОДЗ 
− возрастающая (как сумма возрастающих функций)
− убывающая (композиция функций: возрастающая от убывающей)
(рис. 1), либо 
(рис. 2). В остальных случаях будем всегда иметь одно решение, относительно 
из второго − 
или 
за 
(отрицательные значения синуса нельзя брать из-за корня)
части имеют разные знаки и поэтому не равны. При 
правая часть не бывает равна нулю. При положительных 
растет правая часть и уменьшается левая. Значит, правая часть принимает значения от 
до 
а левая — от 
до 
Нужно, чтобы эти промежутки значений не пересеклись (если пересекутсяя — корень будет, поскольку обе части непрерывны, а в концах отрезка неравенство между частями в разные стороны). Значит, либо 
либо 
получим 
или 
Первое уравнение не имеет корней, второе имеет корень, больший или равный двум.
Первое уравнение не имеет корней, второе имеет корень, меньший двух. Годится.
Оба уравнения имеют корень, меньший двух.
Годится.
Первое уравнение имеет корень, меньший двух, второе не имеет корней. Годится.
Первое уравнение имеет корень, больший или равный двум, второе не имеет корней.
имеет ровно один корень.
Имеем 
(при a = 2 решений нет). Решая неравенство
получаем
Имеем 
(при a = 0 решений нет). Решая двойное неравенство 
получаем 
Имеем 
(при a = −2 решений нет). Решая неравенство 
получаем 
Сразу отметим, что корень, равный 
нам не подходит.
кроме того 
было отрицательным. Это происходит когда 
и 
поскольку этот отрицательный корень равен 
Если оба корня отрицательны, то ни один из них не совпадает с 
имеет ровно один корень.
Тогда нужно, чтобы уравнение 
имело ровно один неотрицательный корень. Имеем: 
второй корень равен 2, поэтому такое a не подходит.
То есть 
при этом единственный корень равен 
поэтому нас устроит только 
(тогда корень будет положительным).
при таких a дискриминант положителен и корни есть.
имеет ровно один корень.
причем на этом множестве уравнение равносильно 
Решим его.
то 
этотвариант подходит. Если же корни различны, то возникают два варианта.
поэтому нас устроят 
поэтому нас устроят 
имеет ровно одно решение.
Ясно, что если x является корнем уравнения, то и 
откуда 
у которого действительно один корень 
у которого есть корни 
необходимо и достаточно, чтобы в какой-либо точке значение правой части было не больше четырех. График этого выражения — кусочно-линейная функция, поэтому наименьшее значение принимает либо при 
Итак, в одной из этих точек значение должно быть не больше четырех.
откуда 
имеем 
Решая это двойное неравенство получаем 
имеет ровно один корень.
и 
при этих условиях имеем: 
Первое значение лежит в ООУ при всех 
При 
уравнение не определено.
то есть 
либо 
откуда 
что вновь дает 
левая часть стремится к 
Поэтому для существования решения необходимо и достаточно, чтобы в одной из «точек сочленения» значение функции не превосхоило правой части. Подставим 
Получим
: 
: 
: 
учитывая что 
это возможно только при 
и 
то есть при 
Его корни на промежутке 
равны 
(если 
) и 
(если 
). То есть из условий 
и 
выполнено ровно одно или 
(тогда корни совпадут).
Очевидно 
причем при 
имеем только 
а при прочих допустимых t имеем два подходящих 
Получаем уравнение 
Оно должно иметь ровно один корень на интервале 
и не иметь вторым корнем 
получаем 
и у исходного уравнения два корня.
(тогда второй корень 
и у исходного уравнения два корня).
Поэтому при 
исходное уравнение будет иметь 
корня, это нас не устроит.
Для этого нужно, чтобы значения функции 
были разных знаков на концах отрезка. Итак, 
При отрицательных a у него нет корней, при 
то есть целых корней будет только два.
или 
лежат на промежутке 
станет 
корня.
корней. 
тогда уравнение примет вид:
то получаем: 
то получаем: 
тогда 
подходит сюда лишь при 
или 
Ясно, что если a подходит в это неравенство, то 
тоже подходит. Осталось проверить случай 
Уравнение принимает вид 
поэтому 
То есть уравнение имеет всего один корень, поэтому такие a не подходят.
при 
и 
То есть на отрезке 
лежат не менее четырех целых чисел. Ясно, что среди них будут −1; 0; 1; 2, а будет ли еще какое-то — уже неважно. Значит, 
Поделим обе части уравнения на a и уединим параметр:
и переформулируем задачу: требуется найти множество значений функции 
при 
Исследуем функцию с помощью производной:
Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции на исследуемом промежутке:
Таким образом, при 
множество значений функции представляет собой полуинтервал 
тогда уравнение примет вид 
Исследуем функцию 
на монотонность. Найдем производную:
При прочих значениях переменной знаменатель положителен, а числитель положителен при 
и отрицателен при 
возрастает на 
затем возрастает на 
затем убывает на 
и убывает на 
Функция f определена в точках 
поэтому она возрастает на всей отрицательной полуоси и убывает на всей положительной. Тем самым, f принимает все значения из промежутка 
дважды, значение 
один раз, а других значений не принимает. Причем функция четна, то есть принимает одно и то же значение в точках t и 
График функции изображен на рисунке. 
Производная функции 
равна 
положительна при 
При 
и большом 
значения функции сколь угодно велики. Значит, функция убывает до 
затем убывает на 
причем в единице достигает значения 
такие значения получаются как раз 
раза. Итак, 
и поскольку 
получаем, что 
и домножая на 
получим:
на промежутке 
с выколотой точкой 
В ней она принимала бы значение 0, и больше нигде она это значение не принимает (
не входит в промежуток). Поэтому будем исследовать ее на всем отрезке 
но число 0 не возьмем в ответ.
Значит, функция убывает на 
Итак, функция принимает значения из промежутка 
(напомним, что 
Решим его:
(эту проверку надо делать, иногда при возведении в квадрат получаются посторонние корни). Подставим их теперь в изначальное уравнение и выясним, годятся ли они туда и при других a.
неверно, например, при 
верно при всех a.
то есть 
Поэтому необходимо и достаточно, чтобы 
(условие 
выполняется автоматически), тогда оба корня попадут на 
получаем:
и имеет лишь один корень.
число корней четно. Поэтому необходимо, чтобы 
было одним из корней. Подставляя его, получим:
и сделаем замену 
Получим уравнение
уравнение примет вид 
то есть 
) либо неположителен (что бывает при 
).
имеем 
Это уравнение должно иметь положительный корень. Итак, уравнение 
должно иметь положительный корень при любом положительном b.
положителен.
мы получим уравнение, у которого вообще нет корней.
имеет корень 
откуда 
Докажем, что у него конечное количество положительных корней (отрицательные — парные к ним). Ясно что 
не подходят. Возьмем производную:
есть еще не более одного решения. Аналогично разбирается случай 
посторонний. Значит, 
и 
(иначе не определен логарифм), 
(то есть 
) и 
(иначе не определен корень). Получаем в итоге 
(иначе не определен логарифм), 
(то есть 
) и 
(иначе не определен корень). Получаем в итоге 
единственный корень.
Уравнение примет вид:
поэтому это уравнение должно иметь единственный корень на 
Далее:
при 
уравнение будет иметь единственный корень, а при прочих a вообще не будет иметь корней. Далее:
уравнение сводится к 
причем равенство возможно лишь при 
Значит
Такое a подходит.
то уравнение сводится к 
подкоренное выражение почти всегда отрицательно и корень не определен. Единственный шанс — если 
то есть ax — целое четное число, тогда и 
В таком случае подкоренное выражение равно нулю и первое уравнение принимает вид 
Подставляя это выражение в неравенство, получим:
нашлось ровно одно четное число (
и четных чисел там нет.
то 
и там есть единственное четное число — двойка.
то 
и там есть единственное четное число — четверка.
то 
и там есть минимум два четных числа.
имеет хотя бы одно решение.
Тогда задача сводится к поиску наименьшего значения выражения 
на интервале 
Возьмем производную:
и положительна при 
Значит, наименьшее значение функция принимает при 
и равно оно 
Нас будут интересовать решения уравнения 
на промежутке 
то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения — один на 
а второй на 
Если же 
то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня. Поэтому нам нужно, чтобы наше уравнение не имело корней на 
и имело ровно один корень на 
Уравнение можно переписать в виде 
и 
Подставляя, получим либо 
и второй корень 
либо 
что невозможно. Первый случай нам подходит. Далее выясним, когда корни совпадают. Тогда 
Очевидно, 
то 
и 
поэтому 
Значит, все такие a нам подходят.
и графика функции 
Для построения эскиза графика исследуем функцию 
с помощью производной. 
не входит в область определения функции. Значит, единственной критической точкой является 
Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:
значения 
— четыре корня;
— три корня;
— два корня.
должно иметь нечетное число решений при 
Для этого уравнение 
(*) должно иметь нечетное число решений на области определения исходного уравнения за исключением точки 0.
Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции:
и решая уравнение 
находим: 
или 
откуда, возвращаясь к исходной переменной, получаем 
Знаки производной и поведение функции укажем на рисунке.
и выделим цветом части графика для 
Количество решений уравнения (*) равно количеству точек пересечения выделенной части графика с горизонтальными прямыми 
оно нечётно при 
тогда уравнение принимает вид
— квадратное, значит, не может иметь более двух корней.
— линейное и имеет один корень 
то уравнение 
он положителен при 
или 
равен нулю при 
отрицателен при 
или 
Введём функцию 
Чтобы уравнение 
достаточно, чтобы выполнялась система 
и заметим, что оно имеет три различных корня тогда и только тогда, график функции 
имеет ровно три общие точки с прямыми 
причем 
при 
Найдём производную: 
Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции, найдем экстремумы функции: 
имеет два корня;
— три корня;
— четыре корня;
— три корня;
— два корня;
— один корень;
— корней нет.
имеет единственный корень на промежутке 
то 
a 
Сделаем замену 
тогда 
Теперь переформулируем задачу: требуется найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень на промежутке 
то 
если 
то 
Значит, при 
при 
Если 
то 
при 
или 
являются вертикальная прямая 
(см. рис., выделено красным) или пучок прямых, проходящих через начало координат (выделено зелёным). 
значит, график исходного уравнения не может иметь общих точек с отрезком BC. Независимо от параметра a прямая 
имела ровно одну общую точку со сторонами квадрата AB, AD и CD, отличную от точек B, C, D и E. Это выполняется при 
имеет три корня.
лежащие ниже параболы 
Графиком второй системы — часть параболы 
лежащая выше параболы 
— точка с координатами 
а точки пересечения этой параболы с параболой 
суть точки 
и 
Найдём эти координаты. 
Заметим, что 
или 
уравнение имеет один корень, при 
или 
— два корня, при 
— три корня. Таким образом, уравнение имеет три корня при 
и 
где t1 и t2 корни уравнения 
Тогда эти пять чисел будут действительными и образовывать арифметическую прогрессию при (без ограничения общности) 
откуда 
и 
и 
откуда 
то есть 
Учитывая ограничение
получаем ответ: 
определен для неотрицательных значений аргумента:
а потому
Правая часть должна быть определена, а потому должно быть верным неравенство 
откуда 
Кроме того, должно выполняться неравенство 
откуда получаем:
равносильно совокупностям:
функция 
возрастает; функция 
также возрастает, так как 
а старший коэффициент меньше 0; функция 
убывает; функция 
также убывает, так как 
а старший коэффициент меньше 0. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть неотрицательная возрастающая функция; сумма убывающих функций — убывающая функция; частное неотрицательной возрастающей и положительной убывающей функции — возрастающая функция. Таким образом, все значения функции f от 
до f(5) принимаются по одному разу. Найдем значения функции в крайних точках: 
и 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение при условии 
где x, y и z — положительные числа.
достигается значение 
Покажем, что а сколь угодно близко приближается к единице. Зафиксируем значения переменных y и z, вычислим предел при х, стремящимся к бесконечности. При фиксированных значениях y и z функция а(х) является дробно-рациональной, причем числитель — линейный двучлен по переменной х, а знаменатель — квадратный трехчлен. Следовательно,
исходное неравенство имеет хотя бы одно решение 
тоже являются корнями этого уравнения. Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня, тогда и только тогда, когда уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет ровно три различных корня.
определенную на множестве действительных чисел, и исследуем её. Поведение на бесконечности:
