Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 514600

Найдите все a, при каждом из которых уравнение

 логарифм по основанию левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x минус a в квадрате косинус x плюс a в квадрате правая круглая скобка =0

имеет ровно четыре корня на промежутке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Заменим  косинус x=t. Тогда каждому значению t,  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше 1 соответствуют три значения x на указанном промежутке, каждому значению t,  минус 1 меньше t\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби или t=1 — два значения, а t= минус 1 — одно значение.

Заметим также, что a больше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; a не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . При этих условиях уравнение равносильно t в квадрате минус a в квадрате t плюс a в квадрате =1,  левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =0. t=1 имеет один корень и дает два значения x. Если a в квадрате минус 1=1, то вторая скобка не даст новых корней, если же нет, то она не даст корней, равных корням первой скобки. Значит, она должна дать ровно два корня, поэтому  минус 1 меньше a в квадрате минус 1\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

0 меньше a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

 минус дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби и a не равно 0.

Учитывая уже имеющиеся ограничения на a, находим a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Спрятать решение · ·
Money Mon$ter 28.03.2017 16:17

В ответах к данному заданию в первоисточнике ( сайт Александра Ларина ) указывается ответ, включающий точку корень из 2 на 2 в область определения а , то есть самая крайняя скобка должна быть квадратной . У меня самого так вышло получилось ( с квадратной скобкой ) при решении графическим способом .

Александр Иванов

Спасибо. Исправили