ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521358 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$x минус 2= дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби .$

имеет ровно один корень на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде $левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка .$ Сразу отметим, что корень, равный $минус 4,$ нам не подходит.

$x в квадрате плюс 2x минус a в квадрате плюс 4a минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x минус a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 1 правая круглая скобка =0,$

Откуда $x=1 минус a, x=a минус 3,$ кроме того $x не равно 4$

При $a=2$ эти корни совпадают и отрицательны.

При прочих a нужно, чтобы ровно одно из чисел $1 минус a,a минус 3$ было отрицательным. Это происходит когда $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Кроме того, нам не подходят $a= минус 1$ и $a=5,$ поскольку этот отрицательный корень равен $минус 4.$ Если оба корня отрицательны, то ни один из них не совпадает с $минус 4.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3;5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 203

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь