ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 511277 Добавить в вариант

Парабола p₂ симметрична параболе p₁, заданной уравнением y = ax² (a > 0), относительно точки T(b; ab²), b > 0. Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: p₁  — в точке A₁, p₂  — в точке A₂ так, что угол A₁A₂T прямой. Касательная к параболе p₁, проведенная в точке T, пересекает прямую A₁A₂ в точке K. Найдите отношение, в котором точка K делит отрезок A₁A₂.

Спрятать решение

Решение.

Вершина параболы $p_1$   — точка $O_1 левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка .$ Поскольку вершина $O_2$ параболы $p_2$ симметрична вершине параболы $p_1$ относительно точки T, то зная координаты точки T, легко получим координаты вершины параболы $p_2:O_2 левая круглая скобка 2b;2ab в квадрате правая круглая скобка .$

В условии задачи говорится о прямой $A_1A_2,$ не совпадающей с их общей касательной и пересекающей каждую из заданных парабол в ровно в одной точке. Отсюда ясно, что эта прямая обязана быть параллельной оси ординат.

Кроме того, угол $A_1A_2T$ равен $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ только в том случае, если ординаты точек Т и $_2$ совпадут. Следовательно, $y_A_2=y_T=ab в квадрате .$ А это значит, что осью симметрии параболы $p_2$ служит прямая $x=2b.$ Абсциссой точки $A_2$ будет $3b.$ Так как абсциссы точек $A_1$ и $_2$ должны совпасть, то ордината точки $A_1$ равна $9ab в квадрате .$

Итак, имеем: $A_1 левая круглая скобка 3b;9ab в квадрате правая круглая скобка ,A_2 левая круглая скобка 3b;ab в квадрате правая круглая скобка ,A_1A_2=8ab в квадрате .$

Прямая TK  — касательная к параболе $p_1$ (T  — точка касания). Ее уравнение будет иметь вид: $y=f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка плюс f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка ,$ где

$x_0=b;f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =ab в квадрате ;f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =2ax; f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =2ax_0=2ab.$

Искомое уравнение: $y=ab в квадрате плюс 2ab умножить на левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка .$ Найдем точку пересечения TK с прямой $x=3b.$

$система выражений новая строка x=3b , новая строка y=ab в квадрате плюс 2ab левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка x=3b , новая строка y=ab в квадрате плюс 2ab левая круглая скобка 3b минус b правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка x=2b , новая строка y=5ab в квадрате . конец системы .$

Итак, $K левая круглая скобка 3b;5ab в квадрате правая круглая скобка .$

$A_2K=y_K минус y_A_2=5ab в квадрате минус ab в квадрате =4ab в квадрате .$

Отсюда ясно, что K  — середина отрезка $A_1A_2.$ А это значит, что $A_1K:A_2K=1:1.$

Ответ: 1 : 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь