ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506000 Добавить в вариант

Найдите множество пар чисел (a; b), для каждой из которых при всех x справедливо равенство $a левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс b в квадрате = косинус левая круглая скобка ax плюс b в квадрате правая круглая скобка минус 1.$

Спрятать решение

Решение.

Подставляя x  =  0, получаем $b в квадрате = косинус левая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка минус 1.$ Левая часть неположительна, правая неотрицательна, поэтому они могут совпадать только при b  =  0.

Тогда тождество принимает вид $a левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка ax правая круглая скобка минус 1.$ Очевидно, a  =  0 подходит.

Если $a больше 0,$ то обе части неположительны, при этом наименьшее значение правой части $минус a,$ а левой −1, откуда a  =  1. Оно подходит.

Если $a меньше 0,$ то одна часть неположительна, а другая неотрицательна, при этом не всегда равны нулю. Это невозможно.

Ответ: a  =  0 или a  =  1, b  =  0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь