ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 511221 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $|x в квадрате минус 2x минус 3| минус ax=2 левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка$ имеет ровно три корня.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем заданное уравнение так: $\left| x в квадрате минус 2x минус 3 |=ax плюс 6a плюс 4.$ Правая часть этого уравнения имеет вид $y=ax плюс 6a плюс 4,$ что на координатной плоскости xOy задает пучок прямых. Действительно,

$y=ax плюс 6a плюс 4 равносильно y минус 4=a левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка$

есть уравнение прямой, проходящей через точку (−6; 4) с угловым коэффициентом k  =  a.

Построим график функции $y=x в квадрате минус 2x минус 3.$ Парабола, у которой ветви направлены вверх, проходит через точки: (3; 0), (−1; 0), а ее вершиной будет точка (1; −4). Зеркальным отражением относительно оси абсцисс части графика с отрицательными ординатами получим график функции $y=|x в квадрате минус 2x минус 3|.$ (см. рис.).

Исходное уравнение будет иметь ровно 3 решения только в двух случаях.

1.  Если прямая $y=a левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка плюс 4,$ проходящая через точку (−6; 4), пересечет график функции $y=|x в квадрате минус 2x минус 3|$ в точке (3; 0), т. е. если координаты точки (3; 0) будут удовлетворять уравнению $y=a левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка плюс 4,$ откуда

$a левая круглая скобка 3 плюс 6 правая круглая скобка плюс 4=0 равносильно 9a плюс 4=0 равносильно a= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

2.  Если прямая пройдет через точку (1; 4), т. е. будет выполнено равенство

$a умножить на левая круглая скобка 1 плюс 6 правая круглая скобка плюс 4=4 равносильно 7a плюс 4=4 равносильно a=0.$

Итак, искомых значений параметра два: $минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби$ и 0.

Ответ: $минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби , 0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь