ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505716 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$синус в квадрате x плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате синус x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0$

имеет на отрезке $левая квадратная скобка 0;2 Пи правая квадратная скобка$ ровно три корня.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $sinx=t$ и получим квадратное относительно t уравнение $t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате t плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0.$ На искомом интервале уравнение вида $sinx=y$ имеет либо 2 решения при $y принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ либо одно при y=1 или -1, либо 3 решения при y=0. Таким образом, чтобы исходное уравнение имело 3 решения на данном отрезке, необходимо, чтобы одним из корней квадратного уравнения было число 1, 0 или -1. Заметим, что в случае 1 и -1, нам еще нужен второй корень из множества $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ а в случае 0, нужно, чтобы других корней из множества $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ у квадратного уравнения не было. Подставляя 0, 1 и -1 в квадратное уравнение, получим совокупность

$совокупность выражений a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0,1 плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0,1 минус левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка =0. конец совокупности .$

Из первого уравнения $a=0, a=2, a=3.$ Для каждого из трёх значений проверяем второй корень уравнения (если он есть) и получаем, что условиям задачи удовлетворяют только два значения: $a=0, a=2.$

Решая третье уравнение, получаем $a=3, a= дробь: числитель: 3\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ После проверки (с помощью теоремы Виета найдём второй корень) остаётся только одно значение $a= дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Предположим, что второе уравнение имеет некоторое решение. Тогда второй корень квадратного уравнения, найденный по теореме Виета, равен $a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка$ и должен находиться в интервале (-1;1). Но в этом случае левая часть второго уравнения совокупности положительна при $a не равно 2,$ значит, решать второе уравнение не имеет смысла.

Ответ: $0;2; дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 60

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь